Ha a halmazoknak van szorzata, akkor van összege is?

Kedves Kristóf!

Szerintem szakadj el a valós számok halmazán értelmezett és megszokott műveletektől, és ne próbáld meg más matematikai struktúrákra ráerőltetni. Az hogy mit nevezünk szorzásnak meg összegnek, némiképp konvenció kérdése és csak az adott definíción belül számít. A Descartes-szorzatot is nyugodtan lehetne Descartes-összegnek nevezni, hiszen elemeket szépen egymás mögé írva képezünk belőlük párokat. Ahogy a férfiakat meg a nőket is a házasságkötés során összeADJÁK.

Itt gondolom, hogy a halmazok számosságára gondolsz. Az unióra az csak akkor helyes, ha A és B halmazok disjunktak.

Ha például N valamilyen halmaz, akk A^N azt a halmazt jelöli ami tartalmazza az össze függvényt f: N->A.

Pontosabban leirva A^N={f|f:N->A}. Akkor |A^N|=|A|^|N|. Remélem hogy erre gondoltál.

Például: ha A={0,1},B={a,b}. Akk A^B={f,g,h,j}

ahol

f(a)=0,f(b)=1;

g(a)=0,g(b)=0;

h(a)=1,h(b)=1;

j(a)=1,j(b)=0;

f,g,h,j az összes lehetséges függvény, ami leképezheti a B-t az A-ra, vagyis mind f:B->A, g:B->A, h:B->A, j:B->A.

Tehát akkor |A^B|=4, ugyanaz mint |A|^|B|=2^2=4. Ez az utolsó összefüggés abból adódik, hogy valójában a B halmaz minden eleméhez annyi elem társulhat, amennyi az A halmaz számossága, ez már kombinatorika.

Nem, mert mivel neked 3elemű a B halmazod, és az A halmaz is 3 elemű, szóval összesen 3^3=27 fajta függvényed lehet,

f1(a)=0, f1(b)=0, f1(c)=0;

f2(a)=0, f2(b)=0, f2(c)=1 és igy tovább adják sorban a kvetkeő számokat:

0,0,2;

0,1,0;

0,2,0;

0,1,2;

0,2,1;

0,1,1;

0,2,2;

....

összesen 27 lehetőség.

K^N esetén egyáltalán nem biztos, hogy halmazról beszélünk már. Véges N esetén még biztos, megszámlálhatóan végtelen N esetén kapjuk a sorozatok terét, ez, amennyire tudom, még éppen halmaz, azonban könnyen alkothatunk olyan objektumot, ami már nagyon nem halmaz. Ilyen pl a [0,1]^[0,1] kifejezés, ami a [0,1] intervallum önmagára való leképezéseit takarja. Ez "túl nagy" halmaznak. Érdekes amúgy, hogy egészen "gyenge" megszorítások elegendőek lehetnek a halmazzá váláshoz, pl. csak a folytonos függvényeket tartjuk meg közülük.

A példák, amiket írtál, azok tulajdonképpen a műveletek egyfajta értelmezései, ha a természetes számokat nem analitikus, hanem halmazelméleti, számosságaritmetikai úton vezetjük be.