Két vektor skaláris szorzata, hogyan?

Miért lesz az? Hát éppen le lehet azt a tételt vezetni, hogy két vektor skaláris szorzata a megfelelő koordináták szorzatainak összege, de az ember a hétköznapokban a Pithagorasz-tételt sem vezeti le újra és újra, csak alkalmazza. Igényelsz levezetést?

Vektorszorzat kétféle van. Az általad említett skaláris, meg van az általad említett vektoriális.

data.hu/get/5606563/Vektorgeometria_es_lin_algebra.pdf

23. oldal

Úgy látom, az utóbbi belinkelt könyv már megadja a választ. Azonban néhány kiegészítést tennék:

Gyakran a skalárszorzást úgy definiáljuk hogy a1*b1+a2*b2, sőt ez egy leszűkítés, legyen uis. a vektorunk n dimenziós, azaz:

a(a1,a2,...,an) és

b(b1,b2,...,bn)

Ekkor a és b skalárszorzata: a1*b1+a2*b2+...+an*bn.

Ha így definiáljuk, akkor ez már nem is kérdés hogy miért, hiszen definíció miatt.

Ez a fajta definíció azért nagyon előnyös, mert általánosságban tudunk vizsgálni szinte mindent, tipikusan euklideszi, vagy hilbert terekben.

Például nehogy azt gondolja valaki, hogy csak két vektornak lehet skalárszorzata. Nem így van. Pl. Két függvénynek is tudjuk értelmezni a skalárszorzást. Persze ekkor már kilépünk R^n-ből, bevezetjük a Lebesque-integrálokat, stb. de ez messze vezet.

A másik megjegyzésem az a*b = |a|*|b|*cos(alpha) képletre vonatkozik.

Ez a képlet már önmagában is érdekes. Pl. nem is tudjuk, hogy |a| alatt mit értünk. Igazából ide normákat kéne írni... De ez megint messze vezet, mert be kéne vezetni a metrikus terek fogalmát.

A képletből fejezzük ki viszont cos(alpha)-t:

cos(alpha)=a*b/(|a|*|b|).

Ez valójában nem más, mint a koszinusznak egy lehetséges definíciója. Felsőbb analízisben gyakran célszerű ez a fajta definíció.

Mellesleg megjegyzem, hogy a formula az ún. Cauchy-Schwartz-Bunyakovszkij egyenlőtlenséggel van összhangban.