Egy háromtagú összeg tagja: két szomszédos egész szám négyzete valamint szorzatuk négyzete. Miért lesz ez az összeg mindig négyzetszám?

Na jó de hogy jön rá erre a szerencsétlen? Vagy te a a^4+2a^3+3a^2+2a+1-ból rávágod hogy mi a jobb oldal?

Amit lehet tenni az az hogy feltesszük hogy négyzetszám és megpróbáljuk kitalálni mi az , majd ha sikerült akkor bebizonyítjuk hogy jó.

a^2+(a+1)^2+a^2*(a+1)^2

az rögvest látszik hogy ez a^4=(a^2)^2 -nél több, (a+1)^4=(a^2+2a+1)^2 -nél kevesebb -- kibontod, kivonod, látod -- és páratlan. Tehát ha négyzetszám akkor 0<k<2a-ra (a^2+k+1)-nak a négyzete. Ebből:

0=a^2+(a+1)^2+a^2*(a+1)^2-(a^2+k+1)^2=2a^3-2a^2k+a^2-k^2+2a-2k

Na? Látsz valamit?

"Na jó de hogy jön rá erre a szerencsétlen?"

Annyira nem bonyolult.

Az rögvest látszik, hogy a*(a+1)-nél nagyobb szám négyzete, - hiszen ez a 3. tag, - és az is,

hogy ha pl. a>10, neadjisten a>100, akkor a 3. tag nagyságrend(ekk)el nagyobb, mint az előző kettő.

Tehát először is próbáljuk a*(a+1)+1 négyzetét ...