Az első 1994 pozitív négyzetszám összegéről a következőket állítjuk: -az összeg páros -az összeg páratlan -az összeg 5-tel osztható -az összeg 0-ra végződik. Hány állításunk igaz? (0,1,2,3,4)

4.

Amúgy az összeg 1994*1995*(2*1994 + 1)/6. Remélem, ez alapján belátod.

A négyzetszámok fele páros, fele páratlan, tehát 997 páros és 997 páratlan van. Tudjuk, hogy két páros szám összege mindig páros, két páratlané is, páros+páratlan pedig mindig páratlan. Ezek tudatában, 997 páros és 996 páratlan szám összege páros, ehhez jön még egy páratlan, tehát a végösszeg páratlan.

Vizsgáljuk meg az első 10 négyzetszám végződését:

1*1=1

2*2=4

3*3=9

4*4=16

5*5=25

6*6=36

7*7=49

8*8=64

9*9=81

10*10=100

Nem nehéz kitalálni, hogy ezek az "idő" előrehaladtával mindig ismétlődni fognak. Az első 10 négyzetszám összege 271, ennek az utolsó számjegye 1. Ha ezt a számot megszorozzuk 1990-nel, akkor 1990-et kapunk, ez 0-ra végződik. Így csak a következő ciklus első négy számának utolsó számjegyei érdekesek: 1+4+9+6=20, ez 0-ra végződik, és ha már 0-ra végződik, akkor az összeg osztható 5-tel.

Tehát a megadott 4-ből 3 állítás igaz.

Az első tíz négyzetszám összegének utolsó számjegye 5.

A többihez ezt használod fel: Minden számot 10*n + m alakba írsz, ahol az m az utolsó számjegy, a 10*n meg ami előtte van.

(10*n + m)^2 = 100*n^2 + 20*n*m + m^2.

Ebből az első két tag tíz többszöröse, azaz nullára végződik. A maradék pedig az utolsó számjegy négyzete.

Tehát tökmindegy hogy 1-10-ig adjuk össze a négyzetszámokat, vagy 1561-től 1570-ig, mindig öt lesz a végük. Ezzel 199 (azaz páratlan számú) lépésben elmegyünk 1990-ig, így az utolsó számjegyünk éppen öt.

1994-ig hátra van még négy négyzetszám amelyek 1, 2, 3, 4-re végződnek, azaz az utolsó számjegyeik 1, 4, 9, 6. Ezek összege nullára végződik.

Tehát a teljes összeg egy ötre végződő szám és egy nullára végződő szám összege, ami természetesen ötre végződik, akármit is írtam az előttem szólók.

Az első állítás így hamis, a második igaz, a harmadik igaz, a negyedik hamis. Válasz: 2.

A rend kedvéért azért beütöttem a gépbe: az összeg értéke 2644726945.

A 22:01-es sajnos elrontotta. Nem 1990-nel kell megszorozni az 1-et, mert 1994-ben a 10 csak 199-szer van meg, és marad a 4, azaz csak 199-szer van összeadva a 10-es ciklus.

Tehát az utolsó jegy 199*1 + 1 + 4 + 9 + 6 utolsó jegye lesz, ami 9-es.

Így csak a második állítás az igaz, tehát a válasz: 1.

"Amúgy az összeg 1994*1995*(2*1994 + 1)/6. Remélem, ez alapján belátod."

Igen:

1994: páros, de 4-gyel nem osztható

1995: 5-tel és 3-mal osztható

(2*1994 + 1): páratlan

És ezek szorzatát osztjuk 6-tal, tehát 5-tel osztható lesz, de 10-zel nem, és így páratlan is.

"Mivel a kérdéses szám 2644726945..."

Igen, de (10 jegyre pontos!) számológép nélkül is megoldható.

1994 * 1995 * (2*1994 + 1)/6 =

2*a * 3*5*b * c /6 ; ahol a,b,c valamilyen PÁRATLAN szám.

= 30*a*b*c/6 = 5*a*b*c ->ebből már minden következik

> „Igen, de (10 jegyre pontos!) számológép nélkül is megoldható.”

Jaja, papíron is össze lehet szorozni 3 számot. Általános iskola 2. osztályban(!) is emlékszem, hogy sokat gyakoroltuk.