Milyen n-re teljesül, hogy az 1! +2! +3! +. +n! összeg négyzetszám?

Négyzetszám végződése 0 (0), 1 (1,9), 4 (2,8), 5 (5), 6 (4,6) vagy 9 lehet (3,7) - itt zárójelben az eredeti szám utolsó számjegye áll. Mivel 5!=1*2*3*4*5=120, ezért innen minden (természetes) szám faktoriálisa legalább egy darab 0-ra végződik, vagyis innen az utolsó számjegy a fenti összegben változatlan marad (1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24...stb.) Tekintsük mindig az összeg utolsó számjegyét:

- ha csak 1! áll magában, akkor az összeg 1-esre végződik (mivel az éppen 1), ez tehát jó

- ha hozzávesszük a 2!-t, akkor 1+2=3, ez nem jó

- 3!=6 okán az utolsó számjegy 1+2+6=9 lesz, ez megint csak jó

- 4!=24, hozzá kell adni még 4-et, az utolsó számjegy így 3, ez sem jó.

Összegezve, csak n=1 és n=3 esetén lesz négyzetszám az összeg. Ha csak nem néztem el valamit eme korai órán :D