Minusszor minusz miért plusz?

Az absztrakció egy bonyolult gondolkodási forma, és bizonyos ismeretek nélkül nem is fog menni. A definícióra pedig éppen amiatt nem szabad hivatkozni, mert az a végső "összefoglalás". Egy szükségletből eredő bonyolult gondolkodás után arra a következtetésre jutunk, hogy ha valamit röviden és ellentmondásmentesen megfogalmazunk, akkor nem lesz szükség erre a sok bonyolult gondolkodásra. És megalkotjuk a definíciót. Éppen ezért az nem alkalmas a megértésre, az egy kényelmes eszköz már megértett dolgok rutinszerű alkalmazásához.

Kezdetben az emberek számláltak. Egy madár, két madár, ... 10 madár, éppen elég lesz a csoportnak vacsorára. Egy idő után az emberek elkezdtek bonyolultabb dolgokat, például csereberéltek. Egy ló két tehenet ér (ezt tapasztalatból vették). De előfordult, hogy nem volt egyszerre mind jelen, a cserebere nem működött. Ez kényelmetlen volt, ezért azt mondták: itt a ló, vigyed, ez a tehén meg az enyém, de holnap hozd a másikat. Itt jött be a gondolkodás. Addig ment, hogy rámutatunk a lóra, egy ló! De az miképp legyen, hogy nincs (a másik) tehén? Valahogy meg kellett értetni a szomszéddal, hogy ez van. Azt mondta, "tartozik" nekem egy tehénnel. Ha idehozza azt az egy tehenet, akkor elmúlik a tartozás. Aki tartozott, az meg azt mondta: igaz, hogy van egy tehenem (hisz itt áll mellettem), de már nem az enyém. Hogy mondjam, hogy úgy van tehenem, hogy nincs?

Aztán szép lassan megegyeztek: ha ÉN adok neked az enyémből, akkor az nekem MÍNUSZ. Neked meg PLUSZ. Mert te kaptad. Adni az mínusz, kapni az plusz. Ha adok egyet, az -1, ha VISSZAKAPOM, akkor a VÁLTOZÁS AZ EREDETIHEZ KÉPEST nulla. Ezáltal megalkottuk a mínusz, azaz negatív fogalmát. Cselekvésben "adást" jelent, létszámban "hiányt", tartozást.

Mi a 2×3? Kétszer egymás után kapok hármat. Eddig semmi se volt, most van 6. Mi a (-2)×3? Kétszer egymás után ADOK hármat. Eddig semmi se volt, most van 6 hiányom. Mi 2×(-3)? Kapok kétszer egymás után 3 hiányt. Eddig semmim se volt, most van hat hiányom. És mi a (-2)×(-3)? Adok kétszer egymás után 3 hiányt. Eddig semmim se volt, de mivel hiányt adtam (formailag) számon tartom, hogy most van 6 tényleges akármim.

Na most, ha ezen elgondolkodunk, és általánosítjuk, megalkottuk a számokkal való műveleteket, mégpedig vegyesen, negatívval, pozitívval. És az életbeli tapasztalatunkkal mindig megegyezett az eredmény, ezért azt mondjuk, alkottunk egy műveleti definíciót!

Zárójeles megjegyzés: bonyolult matematikai műveletek megértetése nem könnyű, de lehetséges annak, aki ért hozzá. Azonban nyilvánvaló alapfogalmak mások számára való megértetéséhez annak alapos értése kevés. Ismerni kell a "tanítás" módszertanát is. Azt azért találták ki, mert megtapasztalták, hogy a megértés úgy hatékony. A legtöbb esetben enélkül a megértetés szinte lehetetlen. Csak olyanok számára sikerül, akik előbb utóbb maguktól is rájöttek volna. Vagyis alapvető különbség van a "valamit megtanítani" és a "tanulást hatékonyabbá tenni" között.

Tanulságképp a későbbiekre; azért nem képesek sokan megérteni a negatív számmal való szorzást, mert rosszul tanítják az iskolában is. Betanítják, hogy mínusz*mínusz=plusz, és ezzel elintézettnek tekintik a dolgot a tanárok is, viszont fontos, hogy itt a szorzásra egy új definíciót kell adnunk.

Induljunk ki a szorzás első definíciójából; ha a;b pozitív egész számok, akkor a*b=b+b+...+b, ahol a jobb oldalon a darab b kerül összeadásra. Például 3*5=5+5+5. A negatív számmal való szorzáshoz ezt kell minimálisan megváltoztatnunk; nem összeadjuk a számokat, hanem kivonjuk;

(-a)*b = -b-b-b-...-b, ahol a jobb oldalon a darab b van. Ennek megfelelően például (-3)*5=-5-5-5=-15. Ezután meg lehet nézni, hogy mi van akkor, hogy a vagy b nem egész, és szépen lehet definiálgatni itt is a szorzásokat a különböző számhalmazokon.

Egy másik analógiával élve, hogy miért rossz a megközelítés, hogy „hogyan lehet mínusszor venni valamit”; a hatványozás definíciója egy viszonylag széles körben ismert definíció;

a^b = a*a*a*...*a, ahol a jobb oldalon b darab a van. Például 5^3=5*5*5=125. Itt viszont fontos, hogy b értéke pozitív egész, így amíg a kitevő pozitív egész, addig nincs gond. De van az az élethelyzet, amikor a negatív hatványkitevőt is kell tudnunk értelmezni, péédául 5^(-2), és itt sem az ugrik be elsőre az embernek, hogy hogyan tudok (-2) darab 5-öst venni és azokat összeszorozni, mivelhogy a fenti megközelítés csak pozitív hatványkitevőre működik, a negatív hatványkitevőnél már más a definíció. Tehát a lényeg, hogy a negatív számmal szorzásnál (önmagában) nem használhatjuk a pozitív számok halmazán értelmezett szorzás definícióját, mert értelmét veszti.