Minusszor minusz miért plusz?

A (-1)-gyel szorzás tükrözés az origóra.

Ha egy bármilyen számot páros számszor tükrözünk, akkor az eredetit kapjuk, ha páratlanszor, akkor az ellentétét.

De lehetne, csak akkor nem latod a negativ szamokkal valo szorzas tenyezokre bontasat.

Egyebkent a szamegyenes peldaja is jo. Vegyunk egy autot, ami megy mondjuk jobbra ('pozitiv' irany). Lokjuk meg balra, hozza kepest 'negativ' erovel. Merre indul? 'Negativ' iranyba, balra.

Na de, ha az auto balra megy, 'negativ' iranyba, es hozza kepest 'negativ' erovel meglokjuk jobbra, akkor merre indul el? Hoppa, jobbra, 'pozitiv' iranyba.

Amugy a negativ szamokrol szolo wiki cikk 'szorzas' resze is tokeletesen elmagyarazza:

[link]

'Bocsi, max úgy bírom felfogni, hogy a mínusz szorzó a számegyenes másik oldalára küld egy számot, akármilyen is legyen az'

Egeszen pontosan errol van szo. A -1-gyel valo szorzas elojelvaltast jelent, ami a szamegyenes 'masik oldala'. Minden mas negativ szammal valo szorzas visszavezetheto erre a muveletre.

Nem érdemes példákba bocsájtkozni, mert ezek csak azt fogják igazolni, hogy "Mínusszor mínusz az egyenlő plusz", de nem tud meg többet az ember a miértjéről. Ezt egy ötévesnek pláne nem lehet elmagyarázni, ehhez csoportelmélet és számos logikai eszköz kell. Általában az ember megérzi, hogy hogy működik és zsigerből használja, de az igazán elszánt, reál módon gondolkodó emberek levezetik, hiszen mégiscsak a logikánk alapjairól beszélünk!

A negatív számok a természetes számokból absztrakcióval származtathatóak. Azáltal, hogy a természetes számoknál bevezetjük a kivonást, vagyis az összeadás ellentettjét, így akaratlanul is megjelennek a negatív számok.

Vegyük az elejéről! Tudjuk, hogy 0+1=1 1+1=2 2+1=3..stb. Ezen művelet ellentettje a kivonás: 3-1=2 2-1=1 1-1=0. És felmerül a kérdés, hogy mivel lesz egyenlő a 0-1=? Ez egy nagyon bonyolult lépés, mert ha a természetes számok világából szemléljük a számokat, akkor értelmetlen számunkra ez a művelet. Ahhoz, hogy a 0-1 kifejezést értelmezni tudjuk, ahhoz definícióra van szükségünk. Azt mondjuk, hogy legyen 0-1=-1 -1-1=-2 -2-1=-3...stb ! Mivel ezek definíciók, ezért a -1, -2, -3 nemjelent semmit, írhattam volna azt is, hogy 0-1=krumpli krumpli-1=körömvágóolló körömvágóolló-1=sörösdoboz vagy akármi mást.

A következő lépés az, hogy ha tudjuk, hogy a természetes számok halmazán hogyan működik a szorzás,akkor le tudjuk vezetni,hogy hogyan működik a negatív számok körében a szorzás. Tudjuk, hogy az 1-el való szorzás nem változtatja meg a szám értékét, vagyis 0*1=0 1*1=1 1*2=2...stb. Tehát akkor hogyan tudjuk meghatározni az 1*-1 kifejezést? Az biztos, hogy az n*-1 (n természetes szám) nem lehet természetes szám, mivel a -1 nem természetes, tehát a vele végezett művelet eredménye egy természetes számok halmazán kívüli érték általános esetben (azért mondom, hogy általános eseteben mert -1*0=0 és a 0 természetes szám, tehát extrém esetekben lehet kivétel).

A -1el való szorzást valahogy le kell vezetni a következő módon: a szorzás azonosságainak meg kell maradniuk! Milyen azonosságok léteznek? Például

Létezik egységelem: e*a=a minden a esetén,

Asszociatív (a*b)*c=a*(b*c),

Kommutatív a*b=b*a

Disztributív (a+b)*c=a*c+b*c ...stb

Ezek a természetes számokkal végzett szorzásnál mind megvoltak és attól, hogy bevezetjük a negatív számokat, szeretnénk, ha továbbra is megmaradnának. Mivel a természetes számoknál a szorzás esetén az "1" volt az egységelem, mert a negatív számok bevezetésével ez nem változhat, tehát -1*1=-1 -2*1=-2 -3*1=-3...stb (A -1 nem lehet egységelem! Kommutativitással -1*1=1*-1=-1, tehát 1*-1 nem egyenlő "1"-el, így a -1 nem egységelem)! Természetes számok -1el való szorzására kitűnően alkalmazhatjuk a disztribúciót. Pl.: 2*-1=(1+1)*-1=1*-1+1*-1=-1-1=-2, 3*-1=(2+1)*-1=2*-1+1*-1=-2-1=-3...stb. De mi a helyzet, akkor ha negatívat szorzunk negatívval és itt érkezünk el az eredeti kérdéshez!

Mivel egyenlő a -1*-1? Azt könnyen be lehet bizonyítani, hogy nem lehet negatív. Tegyük fel,hogy -1*-1=-n (n természetes szám, kivéve a 0). Igaz, hogy -1*n=-n és a szorzástól elvárjuk azt, hogy ha a*b=c és d*b=c, akkor a=d (nullát kivéve!). Így -1=n,ami nyilván nem igaz.

Hasonlóan belátható, hogy -1*-1 nem lehet 0. Tegyük fel, hogy -1*-1=0! Tudjuk, hogy n*0=0 minden természetes számra, tehát 0=-1, ami nem igaz.

Ezzel már bebizonyítottam, hogy mínusszor mínusz az plusz, de mennyi az értéke?

-1*-1=n , ahol n pozitív egész.

-1*-1=(0-1)*-1=(1-1-1)*-1=1*-1-1*-1-1*-1=-1-1*-1-1*-1=(1-1*-1)-1*-1

Tudjuk, hogy n+0=n bármely számra, ezért:

1-1*-1=0

Tudjuk, hogy -1*-1 pozitív egész szám, ezért felírható:

1-n=0,amit már jól ismerünk, így kijön az, hogy n=1, vagyis -1*-1=1, amit be akartunk látni.

Szóval vagy elhiszed, hogy mínusszor mínusz az plusz, vagy megpróbálod megérteni a logikáját!

Ja nem,fáradt voltam azt elnéztem:

"Ezzel már bebizonyítottam, hogy mínusszor mínusz az plusz, de mennyi az értéke?

-1*-1=n , ahol n pozitív egész.

-1*-1=(0-1)*-1=(1-1-1)*-1=1*-1-1*-1-1*-1=-1-1*-1-1*-1=(-1-1*-

1)-1*-1

Tudjuk, hogy n+0=n bármely számra, ezért:

-1-1*-1=0

Tudjuk, hogy -1*-1 pozitív egész szám, ezért felírható:

-1+n=0.

Használjuk a kommutativitást:

-1+n=n-1=0

Így kijön az, hogy n=1, vagyis -1*-1=1, amit be akartunk látni."

Tényleg logikailag azok a magyarázatok járnak a legközelebb az érthető és megokolható megoldáshoz, amelyek a mínuszt mint valami "fordítottat" definiálják.

Fogsz egy papírlapot, megfordítod, az alja van felül. Ha kétszer fordítod meg, visszakapod az eredeti állapotot.