Lehet-e (ha igen - hogyan) átírni pl. egy 3-as számrendszerben megadott számot közvetelenül (a 10-esbe való átírás nélkül) pl.4-es számrendszerbe?

lol

Nem tudom, hol hallottam róla, de állítólag valaki csak úgy tudta átváltani a 20 dekát kilóra, hogy vett 20 dkg krumplit, rátette a mérlegre, és leolvasta, hogy 0,2 kg.

3-asból 4-es számrendszerbe a 10-esen keresztül váltani is kicsit ilyen.

Legyen a szám 3-as számrendszerben 1210022.

Ez definíció szerint (a kitevőktől eltekintve) bármilyen 3-asnál nagyobb számrendszerben így írható:

1*3^6 + 2*3^5 + 1*3^4 + 0*3^3 + 0*3^2 + 2*3^1 + 2*3^0.

(De ha nagyon szigorúan 4-esben akarjuk, akkor a 6-os, 5-ös és 4-es helyett lehet rendre 12-t, 11-et és 10-t írni.)

Viszont ezeket a hatványozásokat el lehet tüntetni, ha az első 6 tagból kiemelünk 3-at, majd a zárójelben az első 5-ből 3-at, stb. Lásd Horner-elrendezés, amit már korábban is emlegettem (tényleg keress rá Wikin). Ezzel ez a szám az lesz, hogy

(((((1*3 + 2)*3 + 1)*3 + 0)*3 + 0)*3 + 2)*3 + 2,

és ez már tényleg teljesen értelmes bármilyen 3-asnál nagyobb számrendszerben, még a kitevőkkel sem kell kivételezni. Másrészt sokkal kevesebbet kell számolni, mert nem kell előre kiszámolni a három hatványait, azokat megszorozni még valamivel, majd összeadni őket, itt csak 6 szorzás és 6 összeadás van, ha megnézed. (Fent csak ahhoz, hogy a 3^6-ot kiszámoljuk 5 szorzás kell.)

És akkor most szépen el kell végezni a műveleteket sorrendben, erre lehet az írásbeli szorzást alkalmazni, ami 4-esben is pont olyan, mint 10-esben, csak más a váltószám.

1*3 = 3, 3 + 2 = 11,

11*3 = 33, 33 + 1 = 100,

100*3 = 300, 300 + 0 = 300,

300*3 = 2100, 2100 + 0 = 2100,

2100*3 = 1 2300, 1 2300 + 2 = 1 2302,

1 2302*3 = 11 0112, 11 0112 + 2 = 11 0120,

és ezzel készen is vagyunk, az eredmény 11 0120.

Nagyobb számrendszerből kisebbe pedig ugye maradékos osztásokkal váltunk, az pont ennek a sémának a fordítottja, itten van egy példa 6-osból 4-esbe:

https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazif..

Hogy ne hitetlenkedj, hogy nem csaltam, az utolsó sorban a számolást is leírom szájbarágósan. Tehát

1 2302*3 = ?

Először is 4-es számrendszerben a 3-asokra vonatkozó szorzótábla (most ez kiszámolom neked, de a 4-ujjú kisiskolásoknak már 2. osztályban fejből kell tudni):

0*3 = 0, 1*3 = 3, 2*3 = 3 + 3 = 3 + 1 + 2 = 10 + 2 = 12, 3*3 = 2*3 + 3 = 12 + 3 = 12 + 2 + 1 = 20 + 1 = 21.

Most a szorzás írásban:

2*3 = 12, az utolsó számjegy 2-es lesz, ez elé írjuk a dolgokat, maradt az 1.

0*3 = 0, ez meg a maradék az 0 + 1 = 1, ezt a 2-es elé biggyesztjük: 12, most nem maradt semmi.

3*3 = 21, ehhez hozzáadva a maradékot (a semmit), az 21, itt az 1-est kiszámolt számjegyek elé adjusztáljuk: 112, maradt 2.

2*3 = 12, plusz a maradék, 12 + 2 = 20, a 0-t felírjuk a eddigiek elé, az 0112, maradt 2.

1*3 = 3, plusz a maradék, 3 + 2 = 11, és mivel több számjegy nincs, ezért ezt odaírhatjuk az előbbiek elé (vagy oda képzelhetünk 0-kat a számjegyek elé, és láthatjuk, hogy a következő lépés után már minden 0 lenne).

Az eredmény ezzel:

1 2302*3 = 11 0112.

Az összeadás is hasonlóan megy:

11 0112 + 00 0002 = ?

2 + 2 = 10, az utolsó számjegy 0, maradt 1.

1 + 0 = 1, meg a maradék az 2, ezt a 0 elé oktojáljuk: 20,

1 + 0 = 1, az előbb nem maradt semmi, ezt elé írjuk: 120,

0 + 0 = 0 --> 0120,

1 + 0 = 1 --> 1 0120,

1 + 0 = 1 --> 11 0120.

Jah, és a kivonásról van videóm is, hogy hogyan kell:

[link] (mondjuk ez 8-as számrendszer, de mindegy.)

Vagy a 2211 maradékos osztással, mostantól 3-as számrendszerben számolva. Itt arra kell figyelni, hogy 2-nél nagyobb jegyekre nincsen számjegyünk, így majd a végén összeolvasásnál ki kell találnunk egy 11-es számrendszerbeli jelet az 10-ra.

2211/11 = 201, maradt 0 (ez lesz az utolsó számjegy).

201/11 = 11, maradt 10 (ez lesz az utolsó előtt számjegy, majd kitalálunk neki valami jó jelölést).

11/11 = 1, maradt 0 (ez lesz az utolsó előtti előtti számjegy).

1/11 = 0, maradt 1 (és mivel ezután 0/11 mindig 0 maradékot ad, ez lesz az első számjegy).

Tehát (visszafele felírva a műveleteket)

2211 = ((1*11 + 0)*11 + 10)*11 + 0 = 1*11^10 + 0*11^2 + 10*11^1 + 0*11^0.

Na most, hogy ezt tényleg felírjuk 11-es számrendszerben hát sajnos el kell kezdeni használni a betűket, tehát jelöljük az 10-at mondjuk innét kezdve Z-vel. Így a 2211 11-es számrendszerbe váltva (ahogy kérted), nem lesz más, mint 10Z0.

Még egyszer összegezve: nagyobból kisebb számrendszerbe maradékos osztással kényelmes váltani, kisebből nagyobba Horner-elrendezéssel, de természetesen működik így is, úgy is, meg akár sokadik módin is.

(Itt nem bizonygatom, hogy nem csaltam, és tényleg meg lehet csinálni, mert a többjegyű számokkal történő írásbeli osztást már 2. osztályban is utáltam, szóval bevallom, hogy számológéppel, közvetve, 2-es számrendszeren keresztül csináltam az osztásokat. Bocsánat! De ha van alsós ismerősöd, aki szereti a matekot, az biztos szívesen megmutatja, hogyan kell.

Illetve alsósok is szoktak számrendszereket tanulni, csak ez így bonyolult lenne, ezért ők „számországoknak” hívják őket. Ilyen karikázós módszerrel csinálják a maradékos osztást, és felírják a pöttyök számát 10-s, 12-s, akár 21-es számrendszerben, szorgalmiként akár 102-es vagy 110-esben is.)

(Itt nem bizonygatom, hogy nem csaltam, és tényleg meg lehet csinálni, mert a többjegyű számokkal történő írásbeli osztást már 2. osztályban is utáltam, szóval bevallom, hogy számológéppel, közvetve, 2-es számrendszeren keresztül csináltam az osztásokat. Bocsánat! De ha van alsós ismerősöd, aki szereti a matekot, az biztos szívesen megmutatja, hogyan kell.

Illetve alsósok is szoktak számrendszereket tanulni, csak ez így bonyolult lenne, ezért ők „számországoknak” hívják őket. Ilyen karikázós módszerrel csinálják a maradékos osztást, és felírják a pöttyök számát 10-s, 12-s, 21-es,… számrendszerekben, szorgalmiként akár 102-es vagy 110-esben is.)

Az azért bizonyítottam, hogy nem kellett a tízes számrendszer?

Ugye nálam ez volt a számolás lényegi része, de egy csomó mindent itt kétszer leírtam, hogy egyértelmű legyen, mi történik (végig négyeses számrendszerben):

1*3 = 3, 3 + 2 = 11,

11*3 = 33, 33 + 1 = 100,

100*3 = 300, 300 + 0 = 300,

300*3 = 2100, 2100 + 0 = 2100,

2100*3 = 1 2300, 1 2300 + 2 = 1 2302,

1 2302*3 = 11 0112, 11 0112 + 2 = 11 0120.

Ezt természetesen lehet így is (0-val indulunk):

*3+1 -> 1,

*3+2 -> 11,

*3+1 -> 100,

*3+0 -> 300,

*3+0 -> 2100,

*3+2 -> 1 2302,

*3+2 -> 11 0120.

Meg persze az írásbeli szorzásnál se kell mindig leírni, hogy ez a maradék, azt hozzáadjuk,…

Gondolom, nálad valami ilyesmi van leírva (tízes számrendszer):

*3+1 -> 1,

*3+2 -> 5,

*3+1 -> 16,

*3+0 -> 48,

*3+0 -> 144,

*3+2 -> 434,

*3+2 -> 1304.

1304/4 marad 0,

326/4 marad 2,

81/4 marad 1,

20/4 marad 0,

5/4 marad 1,

1/4 marad 1,

0, tehát az eredmény 11 0120_4 (az _4 arra utal, hogy a 4-es alsó indexben van).

És a hármas számrendszeres példa hármasból négyesbe váltásra:

2211/11 marad 0,

201/11 marad 10,

11/11 marad 0,

1/11 marad 1,

0, tehát az eredmény 10Z0_11.

(Sőt, még a "/4 marad"-ok és *3-ak kiírását is megspórolhatjuk, mert minek írjuk le 100-szor, ha mindig ugyanaz történik.)