Adott egy függvény egyenlete ( pl. parabola) Megadnak egy Q pontot. Határozzuk meg a függvény azon pontját, amely ehhez az adott ponthoz a legközelebb van. Hogyan kell megoldani?

Általánosan vegyünk egy P pontot a paraboláról, ennek koordinátái (x;y), de mivel adott a parabola egyenlete, ezért vagy x y-ból vagy y x-ből kifejezhető. Ha ez megvan, akkor írjuk fel a PQ vektort, aztán ennek a távolságát, ekkor kapunk egy (vagy több, attól függően, hogy hány esetre kell bontani a parabolát) függvényt, amelynek a minimuma kell nekünk. A függvény minimalizálásával megkapjuk a pont és a parabola távolságát (r).

Ha ez megvan, akkor fel tudjuk írni a Q középpontú, r sugarú kör egyenletét, és meg kell keresnünk a kör és a parabola metszéspontját, tehát egyenletrendszerbe foglaljuk őket és megoldjuk.

Ez a gondolatmenet ugyan bizarrnak és hosszadalmasnak tűnhet, de csak középszintű tudással végig lehet vezetni. Ha tudsz deriválni, akkor azzal is meg lehet oldani.

Ha írsz konkrét példát, azon egyszerűbb elmagyarázni.

A legegyszerűbb módszer a következő: Legyen Q(p,q), és f:x->f(x).

A függvény egy pontjának és Q-nak az Euklideszi távolsága nyílvánvalóan

t=sqrt((p-x)^2+(q-f(x))^2),

aminek a minimumát keressük, azaz szükséges az

dt/dx=0

egyenlőség fennállása. Ez nyílvánvalóan x-re egy algebrai egyenlet, amit megoldasz valahogy.

Ha a megoldása mondjuk x1, akkor legyen y1=f(x1), így a keresett pont:

K(x1,y1).

1. Megjegyzés: Bizonyos görbék esetén két pont is kijöhet, pl. a legtávolabb eső pont. Ezt a 2. derivált előjeléből határozod meg.

2. Megjegyzés: Az egyszerűbb deriválás érdekében a gyök elhagyható.

Q(1;4) y^2=2x, tehát y^2/2=x, így a parabola pontjai felírhatóak (y^2/2;y) alakban, tetszőleges y-ra a parabola pontja és az adott pont távolsága felírható a távolságképlet segítségével, tehát gyök((y^2/2-1)^2+(y-4)^2) lesz, ennek kell a minimuma. Mivel a gyök(x) függvény szigorúan monoton növő, vagyis kisebb szám gyöke kisebb, ezért a minimum helyét nem befolyásolja a gyökjel, így csak a gyökjel alatti résszel foglalkozhatunk.

Bontsuk ki a zárójeleket: y^4/4-y^2+1+y^2-8y+16=y^4/4-8y+17

Innen nem látom, hogyan lehetne elemi módon kitalálni a minimumhelyet, ha rájövök, majd azt is megírom, így marad a deriválás. Ennek a deriváltja y^3-8, ott lehet minimum, ahol ez 0, tehát y^3-8=0, így y=2 adódik. Ha y=0, akkor a deriváltérték -8, ha y=3, akkor az érték 19, előjelváltás törtét, tehát ez tényleg szélsőérték lesz, és mivel y=2 előtt negatív volt a derivált, így csökkent a függvény, utána pozitív, tehát nőtt, ezért minimum.

Tehát a keresett pont a (2^2/2;2)=(2;2) pont, a távolságot innen már ki tudod számolni.