Bizonyítsd be hogy az alábbi egyenlőtlenség mindig igaz?

én bebizonyítom, hogy hamis

bármely nem pozitív egész szám esetén lesz olyan rész, ahol 0-val osztunk

pl: n=-1

ekkor tehát az 1/(n+1) ben 0-val osztunk, ami nem értelmezett.

Lehet, hogy péntek délután lassú az agyam, de nem látom át, az (n+1), (n+2)...sorból hogyan jutok el utolsó tagként n-négyzethez.

(n+((n-1)*n))?

Mintha valami sántítana.

Szerintem nem triviális, pl.:

1/9 + 1/10 + 1/11 + ... + 1/81 >= 1 ; Ez nem triviális

Az, hogy a feladat pozitív egész n-ekre értendő - az triviális.

Viszont könnyen belátható: pl. [n^2/2]-nél félbevágva a sorozatot, látszik, hogy az első, és a második rész is nagyobb mint 1/2.

(itt 32/40 ill. 41/81 -nél nagyobbak)

Na ez azért egy viszonylag ismert állítás.

A szokatlan az ebben, hogy n növekedtével "nyúlik" az összeg.

Jelöljük A(n)-nel az összeget.

Tekintsük A(n+1)-A(n) különbséget, erről fogjuk belátni, hogy bizonyos n-től kezdve pozitív (vagyis szig. mon. növekedő a sorozat).

Az (n+1)-es összeg:

A(n+1)=

1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/n^2+1/(n^2+1)+...+1/(n^2+2n+1)

ez az A(n)-től annyiban tér el, hogy 1/n hiányzik az elejéről, viszont (2n+1) db többlet tag van a végén.

Így A(n+1)-A(n)=

-1/n+1/(n^2+1)+...+1/(n^2+2n+1)

az utsó (2n+1) tagot alulról becsülhetjük a legkisebb taggal:

A(n+1)-A(n)>-1/n+(2n+1)/(n^2+2n+1)

közös nevezőre hozva:

(n^2-n-1)/(n^2+2n+1)

ez n=2-től kezdve már pozitív azaz onnantól az összeg egyre nagyobb, ha n nő

az első pár tagot ellenőrizhetjük:

A(1)=1

A(2)=1/2+1/3+1/4=13/12

innentől viszont az előbbiek alapján növekszik, így 1-nél nagyobb minden elem