Igaz-e az alábbi egyenlőtlenség?

Azért, mert nem mindegy, hogy hatványt hatványozol ((a^b)^c), vagy hatványkitevőt hatványozol (a^b^c), de nem nehéz bizonyítani:

Első körben írjuk át a googolplexet ismertebb alakra:

2^3^4^4 ? (10^(10^100))^(10^21)

Használjuk a hatványozás azonosságát a jobb oldalon:

2^3^4^4 ? 10^(10^100*10^21)

Egy újabb azonosságot tudunk a jobb oldalon használni:

2^3^4^4 ? 10^(10^121)

Vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát:

lg(2^3^4^4) ? lg(10^(10^121))

A bal oldalon tudjuk használni a logaritmus azonosságát, a jobb oldalon pedig pontos értéket tudunk mondani:

3^4^4*lg(2) ? 10^121

Újból vegyük a 10-es alapú logaritmust, majd alakítsuk át a tanultak alapján:

4^4*lg(3*(lg(2))) ? 121

Ezzel olyan alakra sikerült hozni az oldalakat, amelyeket már ki tudunk számolni; a bal oldal értéke ~121,62, tehát a bal oldal a nagyobb, és mivel végig ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért végig a bal oldal lesz a nagyobb, tehát

2^3^4^4 >googolplex^(10^21)

Kis hiba van, valamit elfelejtettem beleírni:

4^4*lg(3*(lg(2))) ? 121 helyett:

4^4*lg(3*(lg(2)^(1/4^4))) ? 121

Erre jön ki, hogy a bal oldal értéke ~121,62.

Nem ugyanannyi. Van ez a szabály:

lg(a^b)=b*lg(a), de persze ez más alapú logaritmusra is igaz, viszont ezt kényelmesebb itt leírni.

Ha használjuk ezt az azonosságot, mivel szorzás van, tagonként kell leemelni a kitevőt, de mivel az lg(2) nincs hatványozva, és a gyökvonás azonossága megengedi, azt gyök alá kell raknunk, így lesz az lg(2)^(1/4^4) (ez a gyökvonás másik formája). Ha visszacsinálnánk, úgy jönne csak ki.