A gyökkettő a négyzetnek olyan, mint a pi a körnek?

Nempajtás. Olyan, mint a 2r avagy a "d" körnek, azaz az átmérője.

Sokkal érdekesebb, hogyha belegondolsz abba, hogy a gyökkettő értékét nem simerjük pontosan. De ha rajzolsz egy ' egység oldalhosszú négyzetet, akkor az átlója az gyökkettő egység lesz. Azaz ott van előtted, látod, mekkora, diszkrét, lemérhető, pontos érték, és nem tudod mennyi is az.

Nem vicces?

"Azaz ott van előtted, látod, mekkora, diszkrét, lemérhető, pontos érték, és nem tudod mennyi is az. Nem vicces?"

Mondok én is egy "vicceset". Ha egy x oldalhosszúságú négyzetben úgy kell átjutnod az átellenes sarokba, hogy csak az oldalaival párhuzamosan haladhatsz, akkor az összes megtett út mindig 2x marad. Tehát ha "vízszintesen" x/1.000.000-nyit mész, aztán "függőlegesen" ugyanennyit, és ezt eljátszod egymilliószor, akkor ugye egy olyan finom "lépcsőt" vagy "recét" rajzoltál, amit nagyítóval sem lehet megkülönböztetni az átlótól (mondjuk x=20 cm esetén), elhanyagolható az eltérése. A hossza viszont: továbbra is 2x. Nem konvergál a gyökkettőhöz...

Jólvan, #4. Ebbe meg keresem a poént...

Még most se találtam meg!

Csakis annyiban, hogy mindkettő egy fix, geometriát meghatározó arányszám.

Meg véletlenül mindkettő irracionális szám.

De én semmiképpen nem kötném össze a kettőt. A "pí" értéke a világunkat leíró alapvető matematikai, fizikai állandók rangjával rendelkezik, mint az "e", a fizikai állandók stb.

A "gyökkettő" egy sima geometriai arány.

Kedves Kérdező! A pi NEM EGYENLŐ a kör kerületének és sugarának hányadosával!

Pi = kör kerületének és átmérőjének hányadosa.

Értem, mit szeretne a kérdező, jogos a problémafelvetés. A pi, az egy elég érdekes dolog, igazából sokféleképp lehetne definiálni.

Az egyszerűség kedvéért tekintsünk egy D átmérőjű, K kerületű kört, ekkor legyen most pi-re a definíció:

pi:=K/D.

Most tekintsünk egy K* kerületű, x oldalú négyzetet. Legyen a négyzet átlója: D*:=gyök(2x^2).

Szeretnénk definiálni egy "új" pi-t. Legyen pi*:=K*/D*, egyszerű számítással kapjuk hogy pi*=2gyök(2).

Vagyis definiáltunk egy új pi-t, mely értéke 2gyök(2).

Ezekkel az x-oldalú négyzet kerülete a következőképp számítható ki:

K*=(pi*)(D*).

Ilyen értelemben, látszólag a 2gyök(2) értéke olyan szerepet tölt be, mint a körnél a pi. Felmerülhet viszont a kérdés, hogy a területre mit ad a "módosított formula".

T=(D*^2)pi*/4=(x^2)gyök(2).

Az eredmény nem meglepő, a négyzet köré írható kör kerületét kaptuk.

Vagyis amit "új" pi-nek emlegettünk, mégsem az "igazi" pi. A kerületszámításhoz jó ugyan, de a területhez már nem.

Felmerülhet esetleg a kérdés, hogy nem létezik -e egy olyan ún. egyenértékű kör, amelynek a kerülete és területe ugyanakkora, mint egy alkalmas oldalhosszú négyzeté.

Belátható szélsőértékszámítás segítségével, hogy ilyen nem létezik, uis. a kör az egyetlen olyan síkidom, melynek területe maximális rögzített kerület esetén.

1. Megjegyzés: Bizonyítható az is, hogy módosított pi* -érték és D* érték nem választható úgy, hogy egyenértékű kört konstruáljunk.

2. Megjegyzés: Valakiben felmerülhet, hogyha kör nem is, vajon ellipszis van-e olyan, mely "egyenértékű" szerepet képviselne. Azaz adott x oldalú négyzethez található -e olyan a és b féltengelyű ellipszis, hogy a két síkidom területe és kerülete azonos. Az eredmény talán nem meglepő: Ilyen létezik bizony, sőt egyetlen egy!

Viszont számításra nem igazán alkalmas. Az a probléma, hogy az ellipszis kerülete nem adható meg zárt alakban.