X négyzetnek miért két x a deriváltja?

"másodfokú függvénynek valójában nem lehet meghatározni ilyen egyértelműen a meredekségét, mert minden pontban más."

Ööö... de pont ez a lényege, hogy a vizsgált pontot behelyettesítve megkapott az adott pont érintőjének a tangensét.

Egy rövid összefoglaló:

Van egy parabolád, és úgy érzed, hogy ehhez is kellene valami meredekséget definiálni, mint az egyenesnél. A baj az, hogy nem lehet azt mondani, hogy a meredekség egy konstans szám, mert aminek konstans a meredeksége, az egyenes, ez a görbe viszont nem tartalmaz egy egyenesszakaszt sem.

Ezért inkább pontonként kell meredekséget megadni. Más a meredekség 0-ban, más a meredekség 1-ben, 2-ben, és megint máshol más. Ezt adja meg összefoglalóan a derivált függvény. x négyzet meredeksége 2x, ami azt jelenti, hogy például 0-ban a meredekség 0, 1-ben 2, 2-ben 8. Rajzold fel a parabolát, húzd be az érintőket, és meglátod!

Igazából elindulhatsz a definícióból is. A differenciálhányadost ugye úgy kapod, hogy veszed a határértékét(x tart x0-hoz) az (f(x)-f(x0))/(x-x0)-nak. Ha ebbe behelyettesítjük a 4x-et, ez jön ki:

lim(x->x0) (4x-4x0)/(x-x0)

Kiemelsz és egyszerűsítesz x-x0-al, így megkapod hogy a meredeksége 4.

Ugyanez x^2-re:

lim(x->x0) ( x^2-x0^2)/(x-x0)

tudjuk hogy x^2-x0^2=(x-x0)*(x+x0)

leegyszerűsítés után pedig ez marad:

lim(x-x0) x+x0 ami egyenlő 2x0-al

Tehát a függvény bármely x0 pontjában a meredekség 2*x0 lesz.