Valaki esetleg el tudná magyarázni közérthetően, hogy mi az integrálás és a deriválás?

[link]

Az ábrán minden függvény a tőle balra levőnek a derivált függvénye, és a tőle jobbra levőnek (egy) integrálfüggvénye.

Magyarázat: egyenletesen növekedett a megtett út, tehát a sebesség végig változatlan volt (vízszintes), tehát gyorsulás nem volt egyáltalán (vízszintes a nullánál).

A tudományban nem nagyon fordul elő, hogy valamit a maga teljességében "először" alkalmaz valaki. Sakn vizsgálódnak egy területen, egyre többen egye többet tudnak róla, amelyet megosztanak egymással. Amikor már kellően sok ismeret áll rendelkezésre, akkor "valaki" elkezdi áttekinteni, rendszerezni, így észrevesz hiányosságokat, átfedéseket, egyszóval kialakul egy olyan rendszer, amit aztán az iskolában tanítanak.

Az integrálás az összegzés általánosítása. A geometriában (jellemzően kezdetben a földmérésnél) bonyolult határokkal rendelkező területek nagyságát kellett meghatározni. Ezt úgy végezték, hogy felszabdalták a területet kis négyzetekre, téglalapokra, ezek területe könnyen kiszámítható, majd ezeket összeadták. Itt persze dódnak kis hibák, mert a határok nem szögletesek. Ezért az elméletben egyre kisebb területeket vettek, amelyek így egyre jobban illeszkedtek a határvonalhoz. Matematikailag: egy görbe alatti területet a görbe integrálja adja meg.

Közben azonban a fizika is fejlődött, ott például nagyon inhomogén anyagok súlyának a meghatározása, vagy nagyon eltérő sebességgel haladó test által megtett útnak a meghatározása okozhat nehézséget. Ha itt is ugyanezt az "aprítós" módszert használjuk, akkor az anyag kicsike darabjáról már feltételezhetjük, hogy homogén, a tömege tehát a sűrűség és térfogat szorzata. A sok kis darab összege pedig az anyag tömege. Hasonlóan, kicsike időtartam alatt a test ugyanolyan sebességgel halad, kiszámítjuk a megtett utat, majd a darabkákat összegezzük. Ha ismét minden határon túl csökkentjük a darabkákat, akkor "határesetben" a pontos tömeget, illetve utat kapjuk meg, és ez az integrálás. Jelen esetben a sűrűség integrálja egy adott térfogaton, illetve a sebesség idő szerinti integrálja. A lényeg, hogy mindig van valami, amit tudunk mérni sokszor egy,más után, ez a függvény. Ha összeadogatjuk, a méréseket, akkor a függvény integrálását végezzük el.

A deriválás hasonló, az előző fordítottja. A geometriában adott egy görbe, és fontos lehet, hogy a görbe értékének pillanatnyi változása mekkora. Ezt úgy számíthatjuk ki, hogy kijelöljük a görbe (függvény) két pontját, és a függvényérték különbségét elosztjuk a változók különbségével. Ha most egyre közelebb visszük a két pontot, akkor - határértékként - a függvény egy pontban való meredekségét, pillanatnyi változását kapjuk meg. Ha lerajzolod ezt a folyamatot, észre fogod venni, hogy a görbe érintőjét rajzoltad le, egyben megérted az érintő jelentését és jelentőségét is.

De itt is van fizikai jelentés. Mondjuk most méred egy futó által megtett utat sok sok részidőben, és ezt a sorozatot ábrázolod. A futónk egy hektikus ember, hol gyorsabban, hol lassabban fut. Össze vissza. Nem gond, mi már meg tudjuk határozni a sebességét az előbbi módszerrel. Itt a függvény az út, a változó az idő, a derivált, vagy meredekség, pedig a sebesség.

Mindkét fogalomnál látszik, milyen fontos jelentőségű egy harmadik fogalom, a határérték. Vagyis az, ha valamit egyre többfelé aprítunk, vagy egyre közelebbi helyeken vizsgáljuk az eltérést, akkor ez a jelenség hogy viselkedik. Mivel az integrál- és differenciálszámításban a határérték fogalma alapvető és nélkülözhetetlen, ezért ezt a témát külön tanítják, ez egy külön kutatási terület.

Ha most az élet teljességét tekinted, mind a geometriában, mind a fizikában, de a közgazdaságtantól a kémián, biológián át, sőt számos humán területen alkalmazható a két fogalom. Egyre jobban bebizonyosodik, hogy mindenben alkalmazható. Hiszen mindössze annyit kell tenni, hogy meghatározzuk, mit is mérünk, mi a mérés változója és eredménye, továbbá, hogy mit jelent ott az összegzés, illetve a pillanatnyi változás. Például bonyolult csőhálózatokban lezajló folyamatokat másképpen nem is tudnánk vizsgálni. Mindegy, hogy a csőrendszerben víz, vagy áram, vagy kommunikációs jel (pl. telefonbeszélgetés) folyik.