Y*Y'' = f (x), Y =?
Arra jutottam, hogy:
y* (d^2 y)/(dx^2) = f(x)
y d^2 y = f(x) dx^2
int y dy dy = int f(x) dx^2
A baloldal: y^2 dy/2
Jobboldal: behelyettesítünk először sqrt(x)-szel, majd x^2-tel, ekkor F(x^2)-et kapunk, tehát:
y^2 dy = 2 F(x^2)
De mit kezdjek a baloldalon lévő egyszál dy-nal, ha a másik oldalt nincs? (Ha integrálnék, akkor a jobb oldalon nem tudom miszerint.)
Vagy lehet, hogy vmi hibát vétettem?
válasza:A d^2y az nem (dy)^2 !
Vagyis nem lehet úgy venni, mint a jobb oldalon a dx^2-et.
Ez így sztem hibás feladat.
Eleve y(x) függvényről beszélünk és annak a második deriváltjáról x szerint.
Azaz itt y(x) és f(x) is szerepel.
Vagy talán valami általános fgv-kapcsolat a kérdés?
De nem ismerős ez a helyzet, és nem is tűnik könnyűnek, ugye másodrendű nemlineáris diff-egyenlet, ráadásul ismeretlen függvénnyel.
Kíváncsi vagyok én is...
válasza:Jól mondják az előzőek. Bár, lehet, hogy amire jutottam, ott hibás felírást alkalmaztam. Csupán tanulmányozni szeretném a dif. egyenleteket és ezeknél pl. megakadtam.
Tud vki vmi megoldást akár spec. esetre is? Előre is nagyon megköszönném.
válasza:Deriváltak:
y-nak az n-edik deriváltja x-szerint: (d^n)y/(dx)^n.
Vagy másképp: [d^n/(dx)^n]y.
Mindjárt mondok példát speciális f(x)-re a diffegyenlethez.
válasza:Példa: Legyen y*y"=2x^2+2x+2.
Mint említettem bonyolult, csúnya nemlineáris egyenletről van szó. A megoldásról is elég nehéz mondani valamit. Az alapvető egzisztencia és unicitáskérdések vizsgálhatók pl. a Cauchy-féle átírással, az alábbi egyenletrendszert kapjuk:
y1'=y2
y2'=(2x^2+2x+2)/y2.
Most viszont ne méllyedjünk ennyire bele, megvan ennek is a megfelelő elméleti háttere (Rengeteg tétel, definíció, bizonyítás).
Most egy olyan eljárást tekintünk, amely segítségével egy megoldást előállítunk. Nem foglalkozunk azzal, hogy esetleg nincs-e más megoldás (azt nem is könnyű bizonyítani).
Az egyenlet jobb oldala polinom alakú, így keressünk egy megoldást y=Ax^2+Bx+C alakban.
Ekkor y"=2A.
Visszahelyettesítés után az alábbi nemlineáris algebrai egyenletre jutunk:
2A^2=2AB=2AC.
Ebből kétféle megoldást kapunk: A=B=C=1 vagy -1.
Így az eredeti diffegyenletnek megoldása lesz az alábbi:
y1(x)=x^2+x+1 és y2(x)=-x^2-x-1.
Visszahelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy ezek tényleg kielégítik a de-et.
Köszönöm a példát! Nagyon jó!
Viszont mi lenne, ha azt mondanám, hogy arra jutottam, hogy csupán az
int ( f(x) dx ) dx
kifejezést kellene megoldani/értelmezni?
Egyébként amire jutottam, hogy ez a kifejezés az
y dy / 2
-vel egyenlő... viszont itt megállt a tudomány.
Ezek szerint, ha lövésem sincs hogy oldjam meg, akkor próbáljak betippelni egy alakot, amit általános formában visszahelyettesítek és mindig egyre konkrétabb megoldáshoz nem jutok?
válasza:"Egyébként amire jutottam, hogy ez a kifejezés az
y dy / 2 "
Ezt nem tudom értelmezni, hogy jutottál erre...
A differenciálegyenleteknél alapvető, hogy nagy részüket nem tudjuk analitikusan megoldani. Ezért numerikus módszereket alkalmazunk ilyenkor, mely algoritmusokat jól lehet programozni számíitógépen.
A fontosabb tipusú analitikusan megoldható differenciálegyenlet-tipusokat a Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek könyv tárgyalja. (Van benn néhány numerikus módszer is).
Szóval ha nem tudjuk megoldani, akkor más oldalról kell vizsgálni az egyenletet. Például sokszor az is hasznos lehet, ha megvizsgáljuk, hogy elég nagy x-ekre hogy viselkedik a megoldás, ill. hogyan függ a kezdeti feltételektől. Ezzel a stabilitáselmélet foglalkozik.
Ha van stabil egyensúlyi helyzete a de-nek, akkor esetleg linearizálhatunk, és pl. megoldjuk a linearizált egyenletet. Ekkor viszont azt a megkötést kell elfogadnunk, hogy csak kicsiny x-ek esetén kapunk elég pontos eredményt.
Más esetekben próbálkozhatunk akár végtelen sor alakú megoldásokat keresni, de ez már numerikus analízisbeli probléma általános esetben.
Hogy jutottam erre a megoldásra? A következőképpen:
Ugye y d^2 y / (dx)^2 = f(x)
Tehát
y d(d y) = f(x) (dx)^2
Bal oldalt y helyére helyettesítsünk y/d kifejezést és majd később visszahelyetesítünk dy-nal:
y/d dy |dy = f(x) dx dx
Integrálva mindkét oldalt (és feltételezve, hogy 1/d kiemelhető):
1/d y^2/2 |dy = int (f(x) dx) dx
Visszahelyettesítve dy-t:
(dy)^2 / 2d = y dy / 2 (? megtehetem, hogy d-vel egyszerűsítek?)
Ekkor:
y/2 dy = int (f(x) dx) dx
Viszont ha jobb oldalt máshogy zárójelezném a dx-eket, akkor már kapnék vmi megoldást ... viszont ellenőrzésnél helytelen eredményt ad, úgy, hogy az nem jó.
válasza:További kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!