Bizonyítsuk be, hogy bármely konvex poliéderben c₃+l₃≥8. Hogyan?

Induljunk ki a tetraéderből (nem kell szabályos legyen). Annak 4 hármadfokú csúcsa és 4 háromszög lapja van, tehát az összeg 8.

Tegyük fel, hogy egy adott konvex poliéderre igaz az állítás.

Ilyen módokon generálhatunk "nagyobb" (több csúcsból vagy több lapból álló) konvex poliédert:

- Vesszük az egyik élet (E₁), ami az L₁ és L₂ lapok közös éle. Az él egy P pontját (ami nem a végpont) L₁ síkjában az élre merőlegesen kihúzzuk. Legfeljebb addig mozdíthatjuk el, hogy az új poliéder konvex maradjon, de az elmozdítás pontos mértéke meg a P pont helye úgyis mindegy, az ilyen poliéderek izomorfak. L₁' eggyel több oldalú lesz, tehát a háromszögek száma csökkenhet eggyel. L₂ altűnik (tehát a háromszögek száma csökkenhet még eggyel), lesz helyette n-1 darab háromszög, ahol n L₂ csúcsainak a száma. n-1 legalább 2, tehát c₃+l₃ vagy változatlan marad, vagy nő.

- Vesszük az egyik lapot (L₁) és annak egy P pontját (ami nem élen van). L₁ csúcsainak száma n. A P pontot L₁ síkjára merőlegesen húzzuk ki (hogy konvex maradjon). Ezzel L₁ eltűnik, Ha n=3, akkor csökken l₃ 1-gyel. L₁ csúcspontjainak fokszáma eggyel nő, tehát csökkenhet c₃ legfeljebb n-nel. Lesz viszont n darab háromszög, és ha n=3, akkor egy harmadfokú csúcs is. Vagyis c₃+l₃ vagy valtozatlan, vagy nő.

Van még más nem izomorf átalakítás is?

Nem teljesen jó sajnos. Az első eset pontosabban meggondolva:

- Vesszük az egyik élet (E₁), ami az L₁ és L₂ lapok közös éle. Az él egy P pontját (ami nem a végpont) L₁ síkjában az élre merőlegesen kihúzzuk. L₁' eggyel több oldalú lesz, tehát a háromszögek száma csökkenhet eggyel. L₂ eltűnik (tehát a háromszögek száma csökkenhet még eggyel), lesz helyette n-1 darab háromszög, ahol n L₂ csúcsainak a száma. Viszont az előbb nem vettem figyelembe, hogy L₂ csúcsai közül n-2 csúcsnak (amik nem E₁ végpontjai) a fokszáma is nő eggyel, így ha harmadfokúak voltak, akkor csökken c₃. Vagyis c₃+l₃ változása a legrosszabb esetben:

-2 + (n-1) - (n-2) = -1

Szerencsére mégsem ilyen rossz a helyzet: ha n=3 volt, csak akkor kezdődik a számolás -2-vel, akkor viszont az új P csúcspont is harmadfokú lesz, tehát a változás 0. Ha viszont n>3, akkor -1 + (n-1) - (n-2) = 0 a változás (vagy pozitív).

- A második eset azt hiszem, jó.

- Van viszont más nem izomorf átalakítás is: L₁ és L₂ szomszédos lapok (n és m oldalúak) közös éle E₁, azon egy pont P. De nem L₁ síkjában húzzuk ki, mint az első esetben, hanem mondjuk L₁ és L₂ lapszögének felező síkjában (illetve nagyjából ott). Ekkor L₁ és L₂ is eltűnik, viszont lesz a két oldalon n-2 illetve m-2 darab új háromszög. Eredőben tehát c₃+l₃ most is nő, vagy legfeljebb változatlan marad (ha n=m=3).

Többféle most nem jut eszembe...