Adott a síkon két korlátos konvex síkidom. Bizonyítsuk be, hogy van olyan egyenes, ami mindkettőnek a területét felezi. Valaki?

Az első válaszadó vagyok és egy kicsit konkrétabb példa:

Fogod azt a két vízszintes egyenest, amelyik pont felezi az egyik, illetve másik síkidomot. Majd pedig 1 fokkal mindkét egyenest elforgatod ugyanabba az irányba. Illetve ezt a két, egy fokkal elforgatott egyenest abba a pozícióba tolot, hogy ismét felezzék a saját síkidomukat. Lesz két olyan szögpozíció a 360-ból, ahol a két egyenes majdhogynem egybe esik, majd pedig ismét távolodnak. Például 56° és 57°. Ezután 56° és 57° között századfokonként ugyanúgy lépteted a két egyenest. Itt is lesz két olyan szögpozíció, ahol a legközelebb áll egymáshoz a két egyenes. Például 56,45°és 56,46°. Most pedig tízezred fokonként lépteted az egyeneseket. Ezt így tetszőleges ideig folytatva tetszőleges pontossággal meg tudod határozni, hogy melyik az az egyenes, amelyik mindkét síkidomot felezi.

De ha neked csak annak a tényét kell bizonyítanod, hogy létezik ilyen egyenes bármely két korlátos konvex síkidomra, akkor az előzöek ezt bizonyítják.

Kedves Nyosigombóc! Az 1. és 2. válaszoló vagyok. A síkidomok súlypontján átmenő vonalak egyáltalán nem biztos, hogy felezik a síkidom területét. Sőt legtöbb esetben nem felezik.

Négyzet és kör esetén igen, de pl. háromszög esetében már nem.