Mi a deriválás pontosan?

"Honnan tudom, hogy melyik pont az amihez az egyenest húztam?"

Na honnan okoska... Behelyettesítesz x-re.

Nem kell egy marék képletet betanulni, de célszerű, hogy egyrészt ne kelljen mindig differenciálni a függvényt, másrészt bonyolultabb függvényekre is lehet használni.

Az alap feltevés az, hogy vegyük egy f(x) függvény görbéjét, és hogyan lehet hozzá érintőt húzni; ezt most nem fogom definiálni, hogy mit nevezünk érintőnek (azért, mert nem tudom, és most talán nem is fontos), fogadjuk el az intuíciót hozzá (tehát nagyjából tudjuk, hogy mit is értünk alatta). Vegyük a görbe két különböző pontját, és kössük össze őket. Most vegyünk egy közelebbi pontot, és azokat is kössük össze. És így tovább, amíg olyan közeli pontot nem választunk, hogy az azokra fektetett egyenes "rásimul" a görbére. Ehhez viszont egy "végtelenül közel" pontra van szükségünk.

Ugorjunk vissza egy kicsit a középszintű koordináta-geometriára; tanultuk még régebben, hogy egy egyenes egyenlete felírható így:

m*(x-x0)=y-y0 tetszőleges P(x0;y0) pontra,

Ha osztunk x-x0-lal, akkor ezt kapjuk:

m=(y-y0)/(x-x0), ezzel megkapjuk az egyenes meredekségét két pont között.

Igen ám, viszont nekünk olyan pont kell, ami egy adott (x;y) ponthoz "végtelenül közel" van; vagy másik megfogalmazásban a pont x koordinátája tart az x0 koordinátához, ekkor ezt kapjuk:

m=lim(x->x0) ((y-y0)/(x-x0))

Ehhez ismerni kell valamennyire a határérték-számítást.

Ezzel megkaptuk a függvény differenciálját az x0 pontban; ha ezt egy bizonyos függvénytípusra felírjuk, azzal arra általánosíthatjuk a differenciálást; ezt deriválásnak nevezzük.

A differenciálásnak viszont megvannak a követelményei, de erre most nem térek ki. Ezt csak azért említettem meg, hogy tudjuk, hogy nem minden függvény differenciálható minden pontjában (sőt, olyan függvényt is találtak, ami a valós számok halmazán értelmezett, folytonos, mégsem differenciálható egyik pontjában sem).

Ha egy függvényt differenciálunk/deriválunk, akkor egy újabb függvényt kapunk; ez a függvény azt mutatja meg, hogy egy adott ponthoz húzható érintő meredeksége mennyi. A függvény pontja adott (vagy kiszámolható), így már csak az a kérdés, hogy egy adott ponton adott meredekséggel milyen egyenest lehet felírni, ez pedig már középszintű anyag.

Nézzünk egy egyszerű példát; vegyük az x^2 függvényt, és számoljuk ki, hogy az x=5-höz rendelt pontjához milyen egyenes húzható.

Írjuk fel a függvény differenciáltját; esetünkben y=x^2 és y0=(x0)^2:

m=lim(x->x0) ((x^2-(x0)^2)/(x-x0))

A tört számlálóját át tudjuk alakítani a tanultak alapján:

=lim(x->x0) ((x-x0)*(x+x0)/(x-x0)), itt egyszerűsítünk:

=lin(x->x0) (x+x0)

A határérték-számításnál tanultak alapján vehetjük úgy, hogy x=x0, tehát azt kapjuk, hogy

=x+x=2x. Ez azt jelenti, hogy ha egy x pontjába szeretnénk érintőt húzni, akkor annak 2x lesz a meredeksége.

Azt mondtam, hogy vizsgáljuk a függvényt az x=5 helyen, vagyis a függvény (5;25) pontjához húzható érintő a kérdés. A meredeksége 2*5=10, tehát az érintő egyenlete y=10x+b alakú, így már csak b-t kell kiszámolnunk. A megadott pont miatt y=25, x=5, ezért

25=10*5+b, vagyis -25=b, tehát a függvény (5;25) pontján átmenő érintő egyenes egyenlete y=10x-25, vagy ha úgy jobban tetszik: 10x-y=25.

Próbáld meg valamelyik másik pontban levezetni ugyanezt, és abból látod, hogy mennyire sikerült megértened.

Ha kérdésed van ezzel kapcsolatban, tedd fel bátran!

Szerintem, ha még nem tetted meg, szerezd be a differenciálszámításról a kis Bolyai-könyvet, nagyon jól elmagyarázza az egészet, példákkal, lépésről lépésre.

Ezt nagyon jól meg kell érteni és tudni használni, ha ez nem megy, az integrálszámításba bele fogsz zöldülni. :)

Ide nézz, mit találtam neked:

[link]