9 négyzetgyöke (i)?

Oké, bevallom, én vagyok hülye. A hetesnek van igaza. Csak, hogy mindenki megnyugodjon, és megmutassam, hogy hülyeségeket beszéltem személyesen, a komplex számokkal, egy kis számolás. A 9 egy valós szám, tehát olyan komplex szám, aminek imaginárius tagja nulla. 9 + 0i. Alakítsuk át trigonometrikus alakba. A rádiusz 9 lesz, árkusza 0 fok. Vonjuk gyököt. Mivel i az nulla x^1/2 = 9^1/2 * cos [(0 fok + 2k * 180 fok)/2] lesz, ahol k 0 vagy 1. Ebből adódóan cos 0 és cos 180 fok értékeivel kell beszoroznunk a rádiusz négyzetgyökét, hogy megkapjuk a gyököket. Ebből mínusz egyszer három és egyszer három jön ki, azaz -3 és 3 valóban mindkettő a gyöke a 9-nek, csak és kizárólag, ha komplex számként kezeljük és komplex számok körében számolunk.

Az továbbra is igaz, hogy valós számok halmazán egyetlen gyöke van, a három.

A kérdező sajnos nem tisztázta eddig a dolgot, de mivel a kérdésbe beleírta zárójelben az i betűt, feltételezem, hogy komplex számokat tanulnak.

- A gyökvonás függvény természetesen csak egy értékű lehet (egyébként nem lenne függvény).

- Egy a+b·i komplex számhoz egyetlen r, φ számpárt kell rendelni, ami geometriai modellben ugyanazt a komplex számot írja le, de itt már van, aki a szöget a [0, 2π) intervallumként adja meg, és van, aki a (-π, +π] tartományt. Elvileg bármilyen 2π széles intervallum jó lenne.

- Ha a geometriai modellben nézünk egy r,φ számpárral jellemzett komplex számot, ahol a szögre nincs semmi kikötés, akkor végtelen sok olyan szám lesz, ami mind 9-et jelent. Ezek az r=9, φ=2kπ számok. Ha ezekből mindből gyököt vonunk, akkor végtelen sokszor 3 lesz az eredmény (amikor k páros), végtelen sokszor pedig -3 (amikor k páratlan).

---

Én nem kövezném meg a tanárt, hogy hülyeséget beszél azért, mert két gyököt mond. Nem kell mindig teljesen absztrakt matekosan beszélni, sok esetben jobban megérthető a dolog, ha van kis lazaság. Majd ha matematikusnak megy az a mostani gimis, akkor megtanulja, hogy egzaktul kell fogalmazni.

Kedves tizenötös!

"A kérdező sajnos nem tisztázta eddig a dolgot, de mivel a kérdésbe beleírta zárójelben az i betűt, feltételezem, hogy komplex számokat tanulnak. "

Itt az i betű nem a négyzetgyök mínusz egy, hanem a többes szám :D Négyzetgyöke(i) = négyzetgyöke/négyzetgyökei :D

Hahahahaha. @16 ha már pont itt tartunk, akkor i az NEM négyzetgyök mínusz egy... lsd éppen följebb... :D

Én sem köveztem meg a tanárt, csak rossz véleménnyel vagyok az efféle szakmai pontatlanságok felől!!

Sok érdekes dolog van itt a gyik-on... Jómagam az 5-ös és 7-es válaszoló vagyok.

Például rendkívül érdekes, hogy a tisztelt, további oldalt látogató kollégák mennyire lepontoztak, 75 ill. 50%-ra, habár az értelmes és tiszteletre méltó válaszolók, akik jártasak is eme témakörben megköszönik, ill. egyetértenek azzal, hogy valaki végre letisztázta a dolgot.

Viszont még ezután is látom, néhányan homályba vésznek, ezen témakörben, így mégegyszer egyértelművé teszem a dolgot:

1. Ha valós számkörben vagyunk:

Négyzetgyök x azt a nemnegatív valós számot jelenti, melynek éppen négyzete az x szám.

Ha tetszik, ha nem, valós számkörben ez a korrekt definíció.

Nézzük meg, mi a helyzet a komplex számok halmazán.

2. Komplex számkörben vagyunk: (azaz a számnak pl. algebrai alakja x+i*y).

Definíció: A z=x+i*y szám k-adik gyökén az a^k=z (ahol k egész) egyenlet gyökeit értjük. (És "a" az ismeretlen).

Geometriailag ez nagyon szemléletes: Azt mondhatjuk ugyanis, hogy a k-adik gyök az origó középpontú k-adik gyök R sugarú körön vannak, egy szabályos k-szög csúcspontjában.

Megjegyzem itt R=gyök(x^2+y^2), aki hallott már exponenciális, vagy trigonometrikus alakról, az érti miről beszélek...

Érdekes elméleti vita bontakozott ki egy ilyen egyszerű(nek tűnő) kérdésben. Azt ne felejtsük el, hogy a legnagyobb részben ez definíció kérdése. Én nem látom értelmét a valós és komplex eset közti ilyen jellegű különbségtételnek.

Alapvetően a kérdésnek kétféle értelmezése lehetséges, algebrai és analitikai.

Az algebra probléma, hogy találjunk olyan a valós (komplex) számokat, hogy rögzített k természetes szám és b valós (komplex) szám esetén a^k=b teljesüljön. Vegyük észre, hogy a feladat megfogalmazásához csak egy csoportra van szükségünk, emiatt is algebrai jellegű a probléma. Nyilván általános esetben a probléma sokkal bonyolultabb is lehet, mivel akár, a komplex esettel ellentétben, tetszőlegesen sok megoldása is lehet.

Az analitikai probléma lényege, hogy definiáljuk a négyzetgyök függvényt, ilyen módon viszont meg kell mondanunk, hogy a lehetséges a számok közül melyik is legyen a függvény értéke b-ben (különben a relációnk nem lesz függvény). A valós definíciót nézve ezek után egyértelmű, hogy milyen probléma adódik komplex esetben: a "nem kisebb" feltételnek nincs értelme, hiszen a komplex síkon nem tudunk bevezetni teljes rendezést! Ilyen módon a komplex számsíkon klasszikus értelemben a négyzetgyök függvény nem definiálható.