Mennyi a végtelen négyzetgyöke?

Ezt a kérdést a matematika egyik ága, a kalkulus (analízis) már megfejtette, azon belül is a határértékszámítás foglalkozik ilyesmivel:

lim(x->végtelen) gyök(x)=

Ábrázoljuk a függvényt, viszont elég csak azokat a pontokat ábrázolni, melyekre a függvény értéke egész:

gyök(0)=0

gyök(1)=1

gyök(4)=2

gyök(9)=3

.

.

.

Láthatjuk, hogy ahogy elérünk egy négyzetszámot, úgy az előző négyzetszámhoz képest a függvény értéke 1-gyel nő. Ez még önmagában nem jelent semmit, mivel nem biztos, hogy végtelen sok négyzetszám van (bár intuíciónk azt sugallja). Viszont azt tudjuk, hogy minden négyzetszám előállítható úgy, hogy 1-től valamelyik másik páratlan számig összeadjuk az összes páratlan számot, így összegük egy négyzetszám lesz. Precízen úgy fogalmazhatunk, hogy ha 1-től összeadunk n darab egymást követő páratlan számot, akkor n^2-et kapunk. Nézzük meg az első pár példát:

0 darab páratlan szám; n=0, összegük 0, négyzetszám.

1 darab páratlan szám: n=1, összege 1, négyzetszám.

2 darab páratlan szám: n=2, összegük 1+3=4, négyzetszám.

3 darab páratlan szám: n=3, összegük 1+3+5=9, négyzetszám.

.

.

.

Erre van egy geometriai és egy aritmetikai bizonyítás is; én most a geometriait fogom megmutatni.

Beláttuk, hogy kis számokra igaz. Vegyünk egy négyzetet, majd bontsuk fel n*n darab kis négyzetre. Most ehhez a négyzethez pakoljunk úgy négyezteket, hogy egy másik négyzetet kapjunk. Ezt úgy tudjuk megoldani, hogy egyik oldalához rakunk n darab kis négyzetet, egy másik szomszédos (tehát nem szemközti!) oldalához rakunk n darab kis négyzetet, ekkor már 2*n kis négyzettel bővült az eredeti négyzetünk. Ehhez még sarkosan kell raknunk még egy kis négyzetet, így jutunk egy (n+1)*(n+1)-es négyzethez. Másik oldalról megközelítve, összesen n^2+2n-1 darab kis négyzetünk van, ez pedig (n+1)*(n+1)-gyel egyenlő, tehát a kapott alakzat biztosan négyzet. 2n+1 pedig biztosan páratlan szám, mivel bármilyen nemnegatív egész számot írunk n helyére, biztos, hogy pozitív páratlan számot kapunk. Ebből láthatjuk, hogy a páratlan számok összege tényleg négyzetszám.

Namármost, azt viszont tudjuk, hogy végtelen sok páratlan szám van, ebből fakadóan végtelen sok négyzetszám is van, és ha mindig eljutunk egy négyzetszámhoz, akkor gyök(x) értéke 1-gyel nő, és ha végtelen sok négyzetszám van, akkor végtelen sokszor fog 1-gyel nőni a függvény értéke, tehát ha a végtelenben vizsgáljuk a függvényt, akkor a függvény értéke végtelen lesz, tehát:

lim(x->végtelen) gyök(x)=végtelen.

"nem biztos, hogy végtelen sok négyzetszám van"

Ez triviális, mivel az f(x)=x^2 függvény a természetes számok halmazán bijekció.

Semennyi. A végtelen nem szám. Négyzetgyöke számnak van.

A kérdés fogalmi problémákból ered.

Igen, csak 2 dolog miatt fogalmaztam így:

1. Lássa a kérdező, hogy triviálisnak tűnő dolgokat is lehet bizonyítani (és hogy nem minden triviálisnak tűnő dolog triviális).

2. Ahhoz tudni kellett volna, hogy lim(x->végtelen) x^2=végtelen, amibe inkább nem akartam volna újból belemenni, hogy miért, és ezzel bizonyítottam azt is. De persze minden probléma megközelíthető több oldalról is.