Egy családban n ≥ 1 gyermek α*p*n valószínűséggel van, ahol α ≤ (1 − p) /p?

Rosszul írtad le, így értelmetlen:

P(n) = α*p*n ? 10* akkora valószínűséggel van 10 gyerek, mint 1?

Inkább:

Egy családban n ≥ 1 gyermek α*p^n valószínűséggel van... 2.44

[link]

Igen, hatvánnyal értelmes, nem szorzattal.

    p_n = α·ρⁿ

Az a) kérdés egyszerű: az összes valószínűségnek 1-nek kell lennie, ezért:

    p₀ = 1 - (p₁ + p₂ + p₃ + ...) = 1 - (αρ + αρ² + αρ³ + ...)

A zárójeles rész egy végtelen mértani sor: a₁ = αρ, q = ρ

Annak az összegképlete a₁/(1-q)

    p₀ = 1 - αρ/(1-ρ)

A b) nehezebb:

Legyen egy család n gyerekkel. Mindegyik gyereknél a fiú valószínűsége 1/2. A fiúk száma binomiális eloszlás:

P(n közül pontosan k fiú) = (n alatt k)·1/2ⁿ

Az n gyerekes család valószínűsége αρⁿ. Az n gyerekes családban ezért a pontosan k fiú valószínűsége:

    (n alatt k)·αρⁿ/2ⁿ

Olyan családoknál lehet k fiú, ahol legalább k gyerek van. Ezért k-tól a végtelenségig kell összegezni ezeket a valószínűségeket:

      ∞

P = Σ (n alatt k)·αρⁿ/2ⁿ = α · Σ (n alatt k) · (ρ/2)ⁿ

    n=k

A binomiális együtthatókra van egy kevésbé ismert összefüggés (legalábbis én nem ismertem, most néztem utána):

  ∞

  Σ (n alatt k) · xⁿ = x^k / (1-x)^(k+1)

n=k

Ezzel zárt alakban fel lehet írni az előző szummát:

P = α·(ρ/2)^k / (1 - ρ/2)^(k+1)

P = 2α·ρ^k / (2-ρ)^(k+1)

Az előző linkben lévő 2.44-es feladatban is ennyi jött ki...