Egy pontosan 100 jegyű véletlen szám mekkora valószínűséggel lesz két 50 jegyű prímszám szorzata?

x = 10'50 / ln 10'50

p = 2x / 10'100

Egy 50 jegyű szám felírható a*10^49 alakban, ahol 10>a>=1.

Két ilyen szorzata a*b*10^98.

Ez akkor lesz 100 jegyű, ha

10^99<=a*b*10^98<10^100

Utóbbi mindig teljesül (a*b<100), előbbit kell megvizsgálni.

10<=a*b

Ezt én geometriai valószínűséggel számolnám ki.

Egy koordináta rendszerben az a*b méretű téglalap 81 egység.

10/x görbe fölött igaz az egyenlőtlenség.

A görbe alatti terület integrálással megkapható

int 1-10 (10/x) dx = [10*ln(x)] = 10*ln 10 -0 =2,02585

Ebből ki kell vonni 9 egységet, ami nem volt benne az eredeti téglalapban (az y=1 egyenes alatti részt). Marad 14,02585 amit 81-el osztva 0,17316 adódik.

Az 50 jegyű prímek száma:

d=10^50 / ln(10^50) - 10^49 / ln(10^49) = 7,8*10^47

2 ilyet kb d^2/2 féleképpen választhatunk ki. ebből 17% lesz 100 jegyű.

Összesen

5,267*10^94

Az összes 100 jegyű számból 9*10^99 van.

P=5,85*10^(-6)

De ez csak közelítés.

"Marad 14,02585 amit 81-el osztva 0,17316 adódik. "

Ezt elrontottam, mert ez a görbe alatti terület, de nekünk a görbe fölötti a jó. 0,827-el kell szorozni.