Véletlenszerűen választunk egy nagy prímszámot, pl 9 jegyűt, majd megkeressük a rákövetkező prímet. Mekkora valószínűséggel osztható a különbségük hattal?

Mivel bármely 2 2-nél nagyobb prím páratlan, ezért a különbségük páros. A kérdés így ekvivalens azzal, hogy mikor lesz a különbségük osztható 3-mal.

Különben milyen összefüggésben merült fel ez a kérdés?

Ha középiskolás feladat, akkor bizonyára azt mondaná az ember, hogy 1/3 a valószínűség.

Ha komolyabb, akkor van rá képlet, ami megjósolja a prímek távolságának az eloszlását:

[link]

Ez külön számolja a 6-tal, 12-vel, stb. oszthatókat. Okos matematikus biztos tudna hasonló módszerrel képletet csinálni a 6-tal oszthatókra, de én most megelégszem ezzel.

A vége felé van a "Table 2", ami az első 40 r értékhez megadja, hogy hány darab 2r széles távolság van a szomszédos prímek között 10⁶ és 10⁹ között. Megvan a pontos szám is, meg hogy a képlet mit jósolt.

A tablázatból téged a 3 többszörösei fognak érdekelni. Azok száma ennyi millióban írva, kicsit kerekítve:

6,08 + 4,46 + 3,35 + 2,36 + 2,18 + 1,17 + 0,95 + 0,58 + 0,41 + 0,37 + 0,21 + 0,13 + 0,10

Ami 22,35 millió. Ez még több is lenne, ha tovább tartana a táblázat...

Egy másik link a prímek számára:

[link]

E szerint 10⁶ és 10⁹ között van 50847534 - 78498 prímszám, ami 50,77 millió.

A valószínűség így 44%. Lényegesen több, mint az 1/3. Az első link táblázatából is látszik, hogy a 3 többszöröseinek a szomszédiahoz képest nagyobb a száma. Most nincs türelmem belemélyedni a képletbe meg a levezetésbe, hogy ez miért van így... de van a levezetés közepén egy Kr nevű konstans, ami 3-mal oszthatóknál 2, egyébként meg csak 1.

"Ez külön számolja a 6-tal, 12-vel, stb. oszthatókat."

Nem jól írtam. Igy kellett volna:

Ez külön jósolja a 6, 12, stb. távolságúakat.