Valaki el tudná nekem magyarázni a nemeuklideszi geometria lényegét egyszerűen és érthetően?

Beteg vagy, ha azt hiszed ez egyszerűen elmondható.

Ez kemény dió.

[link]

Hogy elmagyarázható-e pár mondatban, az attól függ, milyen részletességgel szeretnéd. Euklideszi egy tér, ha Euklidesz Elemek című művében felsorolt premisszák érvényesek. Anno volt egy olyan axióma ami kicsit kevésbé tűnt egyértelműen axiómának, ez pedig a párhuzamossági axióma ( [link] ). Ennek egyik talán jól érthető megfogalmazása, átirata így hangzik: „Egy egyeneshez egy külső ponton át egyetlen párhuzamos húzható.”. Néhányan úgy gondolták, hogy bizonyára le lehet vezetni a többi axiómából. Ezek a kísérletek nem jártak sikerrel. Voltak, akik máshogy próbálták igazolni az axiómát, mégpedig úgy, hogy feltettél az ellenkezőjét, gondolván, hogy az majd bizonyára ellentmondáshoz fog vezetni. Nem így történt, sikerül így olyan geometriát alkotni, amelyben Euklidesz többi axiómája és ennek az axiómának az ellentéte is érvényes, és ez egy ellentmondásmentes, egységes geometriát ad ki.

Ha síkban gondolkodunk, akkor egy sík lapon működnek az euklideszi axiómák, premisszák. De ha a sík görbült, pl. egy gömb felületéről van szó, akkor már nem. A gömb felülete két dimenziós, hiszen elegendő két független adat ahhoz, hogy egyértelműen meghatározz egy pontot a gömb felületén. (Pl. egy földgömb esetén a szélességi és hosszúsági fok, vagy egy kitüntetett ponthoz képesti irány és távolság.)

A gömb felületén viszont már nem működnek az euklideszi tér jellemzői. Pl. az egyenlítőn húzott párhuzamosok találkoznak a sarkokon. Vagy egy háromszög szögeinek összege nem 180°. Pl egy nyolcadgömb esetén a háromszögnek három darab derékszöge lesz. A gömbfelület, mint 2 dimenziós felület tehát nem euklideszi.

A gömbi geometria a gömb felszínén valósul meg. Vegyél egy narancsot, és vágj ki belőle egy háromszöget úgy, hogy mindhárom ív főkörív legyen!

Vagy ott van a találós kérdés a medvéről.

A hiperbolikus geometriát nehezebb szemléltetni, mivel hat dimenzió kellene hozzá, amink nekünk nincs. Elég sok furcsaság van a hiperbolikus síkban, például egy metsző egyenespárhoz van olyan egyenes, ami egyiket sem metszi.

A geometria attól lesz nemeuklideszi, hogy a párhuzamossági axiómát elveti, és helyette egy másik axiómát hoz be.