Kifejezhető tg (15) és tg (75) olyan "szépen" mint a többi nevezetes szögfüggvény?

tg(15) = sin(15) / cos(15)

tg(15) = [√2 * (√3 - 1) / 4] / [√2 * (√3 + 1) / 4]

tg(15) = (√3 - 1) / (√3 + 1)

tg(15) = (√3 - 1) * 2 / (√3 - 1) * (√3 + 1)

tg(15) = (3 - 2 * √3 + 1) / (3 - 1)

tg(15) = (4 - 2 * √3) / 2

tg(15) = 2 - √3

Ha már tudjuk, hogy mennyi a sin(15°) és cos(15°), akkor könnyű… (Esetleg érdekes lenne megpróbálni levezetni őket.)

Amúgy az első jól számolt a 15° esetén: [link]

75°-ra pedig 2 + gyök(3) jön ki:

[link]

Szóval a kérdésre a válasz röviden: IGEN, kifejezhető.

Megjegyzés: Ha nem írunk mértékegységet, akkor általában RADIÁNBAN értjük a szögeket. Így a tg(15) és tg(75) is valami rondaság lesz. Erre tessék figyelni.

Szerintem erről az ábráról jól leolvasható:

[link]

Szépen azonosságokkal levezethető, de a kérdésből úgy véltem a többi nevezetes szögfüggvényt már ismeri az illető.

sin(15) = sin(45 - 30)

sin(15) = sin(45) * cos(30) - sin(30) * cos(45)

sin(15) = (√2 / 2) * (√3 / 2) - (1 / 2) * (√2 / 2)

sin(15) = (√2 * √3 / 4) - (√2 / 4)

sin(15) = (√2 * √3 - √2) / 4

sin(15) = √2 * (√3 - 1) / 4

cos(15) = cos(45 - 30)

cos(15) = cos(45) * cos(30) + sin(30) * sin(45)

cos(15) = (√2 / 2) * (√3 / 2) + (1 / 2) * (√2 / 2)

cos(15) = (√2 * √3 / 4) + (√2 / 4)

cos(15) = (√2 * √3 + √2) / 4

cos(15) = √2 * (√3 + 1) / 4

btw: sin18 is egy nevezetes szögfüggvény, mégpedig az aranymetszéssel levezethető.