A hiperbolikus geometria honnan kapta a nevét, mi köze a hiperbolához?

Az elliptikus geometria lényegében a gömbfelület geometriája, tehát a Földön élve minden olyan probléma modellezésénél ezt használjuk, ahol már jelentősége van annak, hogy a Föld valójában nem síklap. (Az más kérdés, hogy "kicsiben" ezt nem vesszük észre, mert a gömbünk sugara nagyon nagy.)

A hiperbolikus geometria pedig a síkban modellezhető, mint egy kör belsejének a geometriája. Mivel a fizika mai állása szerint az univerzumunk véges, ezért könnyen elképzelhető, hogy ezt sokkal jobban modellezi a hiperbolikus térgeometria (ami modellezhető mint egy "gömb belsejének a geometriája"), mint az euklideszi. (Az persze más kérdés, hogy valójában a fizikában ennél általánosabb nemeuklideszi tereket használnak az univerzum modellezésére.) Ebben az esetben is, mivel ez a "gömb" - aminek a belseje lehetne az univerzumunk - nagyon nagy sugarú, ezért a geometria nagyon közel áll az euklideszihez, így kicsiben nem vesszük észre a különbséget. Könnyen lehet azonban, hogy ha sikerülne megmérni egy olyan hatalmas háromszög szögösszegét, aminek a csúcsai egymástól távoli galaxisokban vannak, az már kisebbnek bizonyulna, mint 180 fok - ami pedig a hiperbolikus geometriára jellemző, és azt bizonyítaná, hogy valójában nem euklideszi térben élünk.

Történetileg persze a hiperbolikus geometria ezektől a dolgoktól függetlenül alakult ki, egyszerűen azért, mert ellenpéldát szolgáltatott arra, hogy Euklidesz 5. posztulátuma nem következik az azt megelőzőekből. Ez lényegében azt mondja ki, hogy egy külső pontból egy egyenessel át csakis egy párhuzamost lehet húzni.

A hiperbolikus geometriában legalább kettőt (és ebből következően végtelen sokat), az elliptikusban nullát. Erre utal az elnevezés is: a matematikában sokszor mondunk "hiperbolikus"-nak valamit, amiből kettő van; és "elliptikus"-nak, amiből nulla.