A hiperbolikus geometria honnan kapta a nevét, mi köze a hiperbolához?

Ilyen háromszög - értelemszerűen - semmilyen geometriában nincs.

Hogy mégis mondjak valami pozitívat a kérdéssel kapcsolatban:

Szokás beszélni a hiperbolikus síkon úgynevezett háromszorosan aszimptotikus háromszögekről. Ezt három olyan egyenes alkotja, amelyek közül bármely kettő határpárhuzamos. Ez a szó szoros értelmében nem háromszög: egyetlen csúcsa sincs benne a hiperbolikus síkban, hanem - például valamelyik körmodellben szemléltetve - a határkörre esnek. Ilyen esetben tehát a háromszög szögeiről sincsen értelme beszélni. Mégis: az ilyen "háromszögekről" be lehet bizonyítani, hogy a területük pi-vel egyenlő. A hiperbolikus háromszögek esetén pedig ismert, hogy

terület = pi - szögösszeg,

tehát ilyen értelemben a háromszorosan aszimptotikus háromszögek "szögösszege" 0.

Egy háromszorosan aszimptotikus háromszöget mindig fel lehet darabolni egyszeresen aszimptotikus háromszögekre. (Ezeknek két aszimptotikusan párhuzamos egyenesből és egy, azokat metsző egyenesből állnak; tehát egyetlen csúcsuk esik a határkörre.) Azt pedig be lehet bizonyítani, hogy az egyszeresen aszimptotikus háromszögek területe véges. Egy elég ötletes konstrukcióval át lehet darabolni ugyanis ezeket (véges helyzetű) ötszögbe. Ezt például elolvashatod az alábbi könyv 45. oldalán:

[link]