Hány db ilyen tulajdonságú tízjegyű szám van? Folyt.

Nem tudom. Így kezdenék neki:

Legyen 1<= x <10 (tehát egy olyan szám, amit, ha szorzunk 10^10-nel, akkor 10 jegyű számot kapunk)

(x*10^10)^2 = (y*10^10) + (x*10^10) (ahol y egy egész szám).

Ez egy másodfokú egyenlet lesz, y paraméterrel. Meg kell oldani, valószínűleg kijön két y-tól függő gyök. Aztán a két egyenlettel addig kell játszani, amíg a feltételek teljesülnek (y egész és 1<= x <10)

-> Automorfikus számok.

[link]

Ez pont 9-jegyű, de pl.

787109376

"ua mint az enyém, kivéve a kezdő egyest"

Tényleg, nem is figyeltem, bocsi. :)

Legyen n egy ilyen szám.

Az, hogy az utolsó 10 jegye n, azt jelenti, hogy n²-et 10¹⁰-nel osztva a maradék n.

n² ≡ n (mod 10¹⁰)

n²-n ≡ 0 (mod 10¹⁰)

n(n-1) ≡ 0 (mod 10¹⁰)

Mivel n és n-1 relatív prímek, ezért csak úgy lehet a szorzatuk 10¹⁰ többszöröse, hogy az egyik 2¹⁰ többszöröse, a másik meg 5¹⁰ többszöröse. Ez két esetet jelent:

a)

n ≡ 0 (mod 2¹⁰)

n ≡ 1 (mod 5¹⁰)

b)

n ≡ 1 (mod 2¹⁰)

n ≡ 0 (mod 5¹⁰)

A kínai maradéktétel szerint egy ilyen kongruencia-rendszernek egyetlen megoldása van a 2¹⁰·5¹⁰ = 10¹⁰ maradékosztályban, vagyis n értéke egyértelmű az a) és a b) esetben is.

Vagyis csak a már megtalált két megoldás lehet.