1. Legyen az ABCD alakú négyjegyű pozitív egész szám osztható 45-tel, és a DCBA - nem feltétlenül négyjegyű - szám is osztható 45-tel! (A, B, C, D azonos számjegyeket is jelölhet. ) Hány ilyen tulajdonságú ABCD szám van? A: 9 B: 12 C: 18 D: 22 E: 24

45|ABCD ,így 5|ABCD és 9|ABCD azaz D=0 vagy D=5.

Legyen D=0,így 9|A+B+C emellett 45|CBA

így A=5 mert A≠0,mivel ABCD négyjegyű.Ekkor

C+B+5=9

C+B=4 ez öt lehetőség (4;0); (1;3);(2;2);(3;1);(0;4)

405;135;225;315;45

C+B+5=18

C+B=13 ez hat lehetőség (4;9); (5;8);(6;7);(7;6);(8;5);(9;4)

495;585;675;765;855;945

C+B+5=27

C+B=22 nincs megoldás!

Legyen D=5,így 9|A+B+C+5 emellett 45|DCBA miatt

A=5 mert A≠0,mivel ABCD négyjegyű.Ekkor

5+B+C+5=18

C+B=8 ez kilenc lehetőség (8;0); (1;7);(2;6);(3;5);(4;4);(5;3); (6;2);(7;1);(8;0)

5805;5175;5265;5355;5445;5535;5625;5715;5805

5+B+C+5=27

C+B=17 ez kettő lehetőség (8;9); (9;8)

5895;5985;

C+B+5=27

Ez összesen 22 lehetőség.

2. feladat

A gerendák hossza a, b és c.

Ha végigmegy pontosan 2-n közülük, a megtett út hosszát nem befolyásolja, h milyen sorrendben ment rajtuk végig, mert az összeadás kommutatív.

A 6 összeg: a+b=b+a, a+c=c+a, b+c=c+b, így 3 különböző összegnek kell megjelennie a megoldásban felsorolt 6 szám között, és mindegyiknek 2-szer, így a D-t kapásból kizárhatjuk. (Azért 3 különböző szám, mert a+b, a+c és b+c közül bármely 2-ben van közös tag, és ha pl. a+b=a+c lenne, abból b=c lenne, de 3 különböző hosszúságú gerendáról van szó.)

A gerendák hosszának paritása szempontjából ez a 4 eset állhat fent:

1. mind3 gerenda hossza páros szám - ekkor a 3 különböző összeg is páros, mert páros+páros=páros.

2. 1 ptlan, és 2 páros van közte - ekkor a 3 különböző összeg között 2 db ptlan és 1 páros van.

3. 1 páros, és 2 ptlan - ekkor is 2 db ptlan és 1 páros

4. mind3 gerenda hossza ptlan szám - ekkor a 3 különböző összeg mind páros, mert ptlan+ptlan=páros.

Így a 3 különböző összeg közül pontosan 0, vagy pontosan 2 db ptlan, így az A-t és C-t kizárhatjuk, mert ott 3, ill. 1 az. xD

Az E-nél az összegek között szerepel a 2 is, ezt azonban nem tudod felírni 2 különböző pozitív egész szám összegeként, így az E is ki van zárva.

Így marad a B. xDD

Ez milyen feladatsorban volt? Gordiusz? Hanyadikos vagy? xD