Határérték probléma: mi a magyarázata a leírt feladatmegoldásnak?

Nem igazán sikerült megértenem a problémádat, de íme néhány észrevétel:

A sgn(x^2) egy olyan függvény, amelynek értéke a nullánál 0, a számegyenes többi pontján +1.

A határérték nem azt mondja meg, hogy az adott pontban mennyi a függvény értéke, hanem azt, hogy a -bármilyen kis- környezetében mekkora az értéke (amennyiben az bizonyos korlátok között marad). Itt pedig a 0-tól bármilyen kicsit is eltérve a függvény értéke 1, vagyis a határértéke is 1. ( Kicsit tudományosabban, ha megnézed a definíciót: minden E pozitív számhoz létezik D pozitív szám, hogy 0<|x0-c|<D esetén |f(x0)-A|<E ( Ekkor f(x) határértéke x0-ben: A)

Mivel D pozitív, az x0 beli érték egyáltalán nem befolyásolja a határértéket, csupán az x0 környezetében felvett függvényértékek, ami jelen esetben mindenhol 1.)

Leginkább, mert ahogy közelítesz a nullához, a függvény értékei is úgy közelítenek a nullához.

(Míg a sgn-os példánál ahogy közelítesz a 0-hoz, a függvény értéke végig 1.)

"akkor meg a behelyettesítési érték, ha van?"

Nem! Egy x_0 helyen a függvényérték nincs befolyással a függvény x_0-beli (akármelyik oldali) határértékére. Mi több, még nem is kell értelmezettnek lennie, pl. f(x)=1/x-nek a 0-ban a bal- és jobb oldali határértéke -végtelen, +végtelen.

Tehát, ha a 0 helyen akarod meghatározni az f függvény határértékét, akkor teljesen mindegy, hogy az f függvény a 0 helyen milyen értéket vesz fel. (Ha pedig a felvett érték megegyezik a határértékkel, az már a folytonosság fogalma, de az most nem ide tartozik.)