N! -nak mi a deriváltja?

Az n! diszkrét pontokban van értelmezve, a deriválást pedig határértékekkel értelmezzük, ami diszkrét pontok esetén lehetetlen. Több függvény is illeszthető diszkrét pontok halmazára approximációval, ezért egyértelmű kiterjesztéséről nem beszélhetünk.

Van azonban egy elég szép és sima kiterjesztése, ez a gamma függvény.

[link]

Elég derék, hogy titeket ilyen dolgokra tanítanak 10. osztályban.

Összefoglalva az eddig megjelenteket:

Az n! függvény n szerint nem differenciálható, mert nem folytonos.

Ha kiterjeszted folytonosan, akkor már differenciálhatóvá tehető.

Persze kiterjeszteni végtelen félekép ki lehet, hiszen az értelmezett pontok között a függvényt sokféleképpen definiálhatod, a faktoriális függvény kiterjesztettjének az úgynevezett Gamma-függvényt hívjuk, képlete pedig: [link]

Ez a függvény pozitív egész számokra visszaadja a klasszikus faktoriális függvény értékeit, a köztes értékeket értelmes módon tölti ki és differenciálható.

Ennek a deriváltja látható az első hozzászólásban látható linken, ahol a derivált függvény is más, speciális függvénnyel van kifejezve, a bonyolult képlete miatt.

(Mint ahogy a Gamma-függvény képletét sem szokás kiírni, a Γ(2.3) kifejezésről mindenki felismeri, hogy az a fenti módon definiált Gamma-függvény értéke a 2.3-ben.)

"A derivált függvény pedig az eredeti függvény minden egyes pontjának diferenciálhányadosát adja meg, szóval szerintem az n! is simán lehet deriválni."

A differenciálhányados definíciójából adódik, hogy csak diszkrét pontokban értelmezett függvényt miért nem lehet. A differenciálhányados egy határérték, amelynél x-x_0 tart a 0-hoz, de nem éri el a 0-t. Viszont, mivel a függvény csak egész pontokon értelmezett, x-x_0 is csak egész szám lehet, így legalább 1 vagy -1, nem tarthat 0-hoz, nem értelmezhető sem a differenciálhányados, se más határértéke a függvénynek.

Ahogy felettem leírták, ehhez a függvény értelmezési tartományát ki kell bővíteni úgy, hogy x_0-ban sűrű legyen, ha ott valamilyen határértéket akarunk definiálni (hogy legyen a helyeknek olyan sorozata, mely x_0-hoz tart, és erre értelmezhessük a függvényértékek sorozatának határértékét).

Az ilyen kiterjesztések közül a legegyszerűbb, hogy minden valós számra értelmezzük, ezt is leírták korábban.

De pl. van olyan függvény is, ami csak a racionális számok halmazán értelmezett, és a határértéke minden valós helyen nulla (pedig a függvény mindenütt pozitív).