Hány olyan n van, melyre teljesül, hogy n! +3= négyzetszám?

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800,

ezekből én 3 db-ot látok

Meg kell nézni, hogy milyen számra végződhet a faktoriális: megegyezés szerint 0!=1, továbbá 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=5040...stb. Tehát a faktoriális lehetséges végződése 1, 2, 6, 4 vagy 0 lehet. Ha ehhez hozzáadunk 3-at, akkor a végződés rendre 4, 5, 9, 7 vagy 3 lesz, egy négyzetszám végződése pedig 0, 1, 4, 9, 6 vagy 5 lehet. A közös végződések tehát: 4, 5 és 9. Ebből következik, hogy ha:

-ha n!+3 4-re végződik, akkor n! 1-re végződik, innen n=0 vagy n=1 lehet, 0!=1 és 1!=1, ehhez 3-at adva 4-et kapunk, ami valóban négyzetszám;

-ha n!+3 5-re végződik, akkor n! 2-re végződik, innen n=2 lehet, de ez nem jó, mert 2!=2, 2+3=5, ami meg nem négyzete egyik egésznek sem - a faktoriális pozitív egészekre értelmezett;

-végül ha n!+3 9-re végződik, akkor n! 6-ra végződik, azaz n=3 adódik, ez is megfelelő, mert 3!=6, 6+3=9, ami pedig négyzetszám.

n=0, n=1, n=3.

Több nincs, mert n>=4 esetén n! már osztható lesz 4-gyel, akkor pedig n!+3 négyes maradéka 3, de négyzetszámok négyes maradéka pedig csak 0 vagy 1 lehet.