Hány 9-esre végződhet egy négyzetszám?

Mármint hány 9-re végződő négyzetszám van?

Abból végtelen sok. Minden 10*a + 3 alakú szám – ahol a egész szám – négyzete 9-re végződik:

(10*a + 3) = 100*a^2 + 60*a + 9

Mint látható az összeg első két tagja 10-nek valamilyen szorzata.

Pl:

13 -> 10*1 + 3

13^2 = (10*1+3)^2 = 100*1^2 + 60*1 + 9 = 160 + 9 = 169

23 -> 10*2 + 3

23^2 = (10*2+3)^2 = 100*2^2 + 60*2 + 9 = 520 + 9 = 529

453 -> 10*45 + 3

453^2 = (10*45+3)^2 =100*45^2 + 60*45 + 9 = 205200 + 9 = 205209

Ha az a kérdés, hogy legfeljebb hány darab 9-re végződhet egy négyzetszám, akkor megint más persze a kérdés. Ebben az esetben írjuk fel a négyzetre emelendő számot 100*a + b alakban, ahol a, b nemnegatív egész szám, továbbá b<100.

Ebben az esetben a szám négyzete:

(100*a + b)^2 = 10000*a^2 + 200*a*b + b^2

Mivel az első két összeadandó 100-al lett megszorozva, ezért az utolsó két számjegyre nincs hatással. b^2-et vizsgálva ha nem találunk olyan kétjegyű számot, ami 99-re végződik, akkor egyáltalán nincs olyan négyzetszám, ami 99-re végződik. Ha felírod a kétjegyű számok négyzeteit, nem fogsz találni ilyet, tehát nincs olyan négyzetszám, ami 99-re végződik. Következtetésképpen maximum egy darab 9-re végződhet egy négyzetszám. (Amiből viszont végtelen sok van, mint az a válaszom elején bizonyítva lett.)

Írjuk fel a négyzetre emelendő számot (10*a + 3) alakban,

Ebben az esetben a szám négyzete:

100*a^2 + 60*a + 9

Mivel az első 100-al lett megszorozva, ezért az utolsó két számjegyre nincs hatással.

60*a + 9 = 99

a = 90/60 = 1.5 ;ez azomban nem fér el egy helyiértéken,

tehát csak egy 9-esre végződhet egy négyzetszám.

9-re végződhet egy négyzetszám, ha az eredeti 3-ra, vagy 7-re végződik. A többi 8-féle szám négyzete nem 9-re végződik.

Írjuk fel a számokat 10 hatványok összegeként.

Akárhány jegyű számot nézünk, csak a második jegy tud számítani, mert a többiek a négyzetre emelés során csak az eredmény 3. jegyébe szólhatnak bele (végezzük el a műveletet, látható, hogy minden tagban van legalább két nullára végződő szorzó, ahol van 3. jegy is a szorzatban).

Tehát elég a 10x+7 és 10x+3 számokat nézni. Négyzetre emelve 100x^2+140x+49, illetve 100x^2+60x+9 az eredmény. A második jegybe csak a 14x+4, illetve 6x szól bele. Mindkét szorzat páros, tehát nem lehet 9. Így a négyzetszámok csak egy darab kilencesre végződhetnek.