Hogy lehet a teljes számtartományon egész számot igazságosan kisorsolni?

"Az egyenlő esély csak a 0 lehet.

Ha egy p>0 szám lenne, akkor megszámlálhatóan végtelen sok p összege végtelen, nem pedig 1."

Értem már. A megszámlálhatóan végtelen sok 0 szám összege 0 ez a végtelen sor összegzéssel kijön.

"Ha nemnegatív valós számokat akarsz sorsolni, akkor

1. A (0,1] intervallumon sorsolsz egy valós számot számjegyenként, ez lesz x.

2. Veszed 1/x-1-et."

Erre gondoltam én is, ezt az intervallumot ketté lehet vágni (0;1/2] és (1/2;1] intervallumokra, ha az első intervallumba esik a szám akkor 1/(2*x)-1-et különben -(1/(2*(x-1/2))-1)-et veszem. így egyenlő eséllyel sorsolok ki bármelyik számot a teljes valós számtartományon. Ebből a szempontból igazságos, abból viszont nem hogy melyik intervallumba fog esni, úgy értem hogy ha felosztom a valós számok halmazát végtelen sok egyenlő hosszú intervallumra.

"Ha már funkcionális programozás:

Veszel egy végtelen listát, és ha szükséged van még egy jegyre, akkor kisorsolod a következő jegyet. De a számot magát nem fogod tudni."

Ezt meg nem abszolút értem miért kellett írni amikor világosan kifejtettem hogy minden szám véges kvázi véges számjegyű(egész számok esetén avagy a tizedes vessző előtt) Az egész számok mintájára még be is vezettem olyan algebrai struktúrát, melynek elemeit akár számoknak is tekintjük, ha számoknak tekintjük akkor megengedett benne végtelen hosszú szám. Megállapítottam amit múltkor csak sejtettem (bizonyításom is van rá, ha érdekel valakit veszem a fáradságot és ide leírom) így "megsorszámozhatjuk" az összes valós számot, mivel azért megszámlálhatatlanul végtelen sok valós szám van mert végtelen darabnak méghozzá kontinuum soknak végtelenül hosszú sorszám jutna, ez lehetetlen mivel sorszám csak véges lehet.

(Kigondoltam olyan absztrakt számhalmazt mely még a valós számok halmazánál is végtelenebb.)

"A valószínűség: P(A)=\frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}, ahol \mu a teljes eseménytéren értelmezett mérték."

Ez a geometriai valószínűség, ez hogy jön ide? Egész számokat nem lehet sorsolni úgy hogy mindnek egyenlő esélye legyen a teljes számtartományon.

"A valós számokat meg hogy hogyan sikerült megsorszámozni, arra kíváncsi vagyok, mert már a [0,1] intervallum is túl nagy ehhez." Összesen annyi valós van mint a [0,1] intervallumon, ezért elég belátni a [0,1] intervallumra.

Lemma:Bármely kontinuum számosságú halmazból törlök megszámlálhatóan végtelen elemet továbbra is kontinuum számosságú lesz.

Másik lemma: Megszámlálhatóan végtelen sok racionális szám van bármely 0-nál nagyobb intervallumon is.

Az általam konstruált egész számok halmazából elég a pozitív számokat tekinteni (mint absztrakt sorszámot, már így is kontinuum sokan vannak) Ezek közül elég a végtelen méretű számokat tekinteni, vagyis törölve belőle a szokásos (véges) egészeket, melyek megszámlálhatóan sokan vannak.

A bijektív leképezés legyen a következő:

Bármely [0,1] intervallumon lévő valós sorszáma legyen egy olyan (absztrakt) sorszám melyet úgy képzünk hogy a tizedes vessző utáni számjegyekből álljon minden sorszám:

pl. 0,1 -> 10000000000000000 ...

1/3 -> 3333333333333333 ...

gyök(0,5) -> 7071067811865 ...

Megszámlálhatóan végtelen sok sorszámot fel sem használtam, mert így triviális a leképezés. Legyen ez a h nevű leképezés.

Ha a véges sorszámokat is fel akarjuk használni akkor a [0,1] intervallumba lévő racionális számokat sorszámozzuk meg, sorszámot képezzük az f függvénnyel, csináljunk egy g függvénnyel leképezést mely a [0,1] intervallumban az összes irracionális számot leképezi a [0,1] valós halmazra bijektíven.

(absztrakt)sorszámképzés:

Minden x € [0,1]

ha x racionális akkor sorszáma f(x)

különben sorszáma h(g(x))

Nem adtam meg konkrét f és g függvényeket, megelégszem hogy létezik megoldás.

"Amúgy pedig bármelyik halmaznál tudok neked mondani nagyobb számosságút: a hatványhalmaza."

Az igaz hogy végtelen fajta különböző számosságú végtelen halmaz lehet, de hogy minden halmaznál van nagyobb számosságú abban nem vagyok biztos. Van pl. a Russell-paradoxon mely a naiv halmazelmélet hibájára mutat rá. Oké akkor ne engedjük meg hogy egy halmaz önmagát tartalmazza elemként, akkor legyen a minden halmaz halmaza, melyik a nagyobb a minden halmaz halmaza vagy ennek hatványhalmaza? A minden halmaz halmaza tartalmazza a hatványhalmazát elemként és ennek minden részhalmazát is... ellentmondás van, nem lehet ilyen halmaz, egyszerűen túl nagy ahhoz hogy halmaz legyen. Egy matematikai kutatás terület hogy hol van a határ ami még halmaz (igen bonyolult terület).

"Na? Kapisgálod már?

Szóval itt a probléma. Mat error. Ha mégis kisorsolnád, a kapott szám egy megszámlálhatóan végtelen számjegyű szám lenne (pozitív vagy negatív, tökmindegy)."

Azon túljutottam már hogy nem lehet ha nem tűnt volna fel már az első kommentemben leítam ugyan ezt máshogy megközelítve.

"Téged viszont úgy látom a módszer érdekel inkább. Elméleti síkon.

Szóval: hogy lehet egy 6elemű tartományból kisorsolni egyet? 6 oldalú poliéderrel. Ilyen alapon: feldobsz egy golyót, gömböt, gombócot, mittudoménmit, aminek egy átmérője két vége + és - végtelent jelenti. Amik ugye sosem lesznek felül, hiszen egyetlen pontnak a valószínűsége hogy pont felül lesz, 0. De minél közelebb vannak az egyik átmérővégponthoz, annál nagyobbak (kisebbek) lesznek a számok."

Annak az alakzatnak kontinuum sok oldala van, a valós számtartományból veszi a számokat, intervallumra nézve nem lesz igazságos, hisz bármely (k>0) k hosszú intervallumba nem lehet azonos valószínűséggel a szám.

"De inkább megyek jegyzőkönyvet írni ahelyett hogy ilyen hülyeségeken agyalnék..."

Akkor minek olvasod el a kérdést illetve minek válaszolsz? Kit érdekel hogy jegyzőkönyvet írsz? Nem ide tartozik.