Igaz-e a következő sejtés? Comb (p^2, p) =p mod (p^5).

Itt helyben teszek kísérletet a megoldásra. A lényeg a következő:

1. Mondunk egy halmazt Comb(p^2)-p elemmel.

2. A halmazon belül egyenlő, p^5 elemszámú diszjunkt részhalmazokat hozunk létre.

3. Belátjuk, hogy a nem besorolt elemek száma is osztható p^5-nel.

(1) A halmaz jelen esetben: egy p^2-es mátrix mezőiből egy p elemű kombináció, ahol a kiválasztott elemek nem mind ugyanabban a sorban vannak.

(2) Az osztályozás: vegyük azokat a halmazokat, ahol legalább 5 különböző sorban vannak kiválasztott elemek (a továbbiakban foglalt sor), őket rakjuk osztályokba. Egy osztályba tartoznak azok a kombinációk, ahol az első 5 foglalt sor egymásba rotálható (egy sor rotációja: a kombináció kiválasztott elemeit eggyel jobbra toljuk, az utolsó elem kerül az első helyére, világos, hogy ha p-szer rotáljuk a sort, visszakerül eredeti állapotába - viszont 1, 2, 3, ..., p-1 rotációval biztosan nem, mivel a sorban van kiválasztott és nem kiválasztott elem is). Mivel 5 sor párhuzamos rotálásával összesen p^5-féleképp módosíthatjuk az eredeti kombinációt, mind különböző eredményt ad, a rotálás invertálható, reflexív, tranzitív, belátható, hogy ez egy jó osztályozás.

(3) Ami kimarad az osztályozásból: az olyan kombinációk, ahol nincs 5 foglalt sor: tehát 4, 3 vagy 2 van (az 1 esetet kizártuk az első pontban).

Egyenként ezekre a lehetséges esetek:

Pontosan 2 foglalt soros kombinációk száma = Comb(p,2)*{Comb(2p,p)-2}

(Az elején a szorzó a két foglalt sor kiválasztása, a szorzó az elrendezés: a két sor 2p eleméből kell p darabot kiválasztani - de ki kell vonni azt a két esetet, ahol valójában csak az egyik sorban vannak elemek kiválasztva.)

Pontosan 3 foglalt soros kombinációk száma = Comb(p,3)*{Comb(3p,p)-3*Comb(2p,p)+3}

(Ugyanaz, logikai szitával kiszűrjük a valójában 2 vagy 1 foglalt soros eseteket.)

Pontosan 4 foglalt sor = Comb(p,4)*{Comb(4p,p)-4*Comb(3p,p)+6*Comb(2p,p)-4}.

Folyt köv...