Igaz-e a következő sejtés? Ha létezik olyan három [p, q, r] prímszám, amelyre 24| (pq+r) akkor 24| (pr+q) és 24| (qr+p) is igaz állítást ad.

Megpróbálok valamit összehozni, aztán, ha rossz elnézést.

Először is ha jól értem a kisbetűs rész arról szól, hogy ha a 24 helyére 2,4,8,6,12-t írunk, akkor is teljesül-e.

Most 4-re fogom belátni, hogy teljesül. Tehát 4|(pq+r) => 4|(pr+q) ˄ 4|(qr+p).

Tudjuk, hogy p, q, r 1 vagy 3 maradékot ad 4-gyel osztva, tehát a maradékok így alakulhatnak (sorrendtől függetlenül):

1 1 1

1 1 3

3 3 1

3 3 3

Azt is tudjuk, hogy ha a/4 x és b/4 y maradékot ad, akkor ab/4 xy maradékot ad, így ha megnézzük, csak a

1 1 3 és a

3 3 3 ad bármilyen csoportosításban (1*1+3; 1*3+1; 3*3+3) 0 maradékot 4-gyel osztva. A többi pedig semmilyen csoportosításban nem ad 0 maradékot 4-gyel osztva, tehát 4|(pq+r) => 4|(pr+q) ˄ 4|(qr+p) igaz. Ezzel az állítást bizonyítottuk.

Ugyanigy lehet egy kicsit hosszadalmasabban 8-al is és szerintem 24-gyel is.

Írtam, hogy meg lehet mutatni 8-ra is ily módon.

3-ra is meg lehet mutatni:

p, q, r sorrendtől függetlenül lehet

1 1 1

2 2 2

1 1 2

2 2 1

és ezek közül csak a

2 2 2 és az

1 1 2 ad 0 maradékot mindenféleképpen, a többi sehogy.

Tudjuk, hogy egy szám akkor osztható 24-gyel, ha 3-mal és 8-cal is osztható, tehát ha (pq+r) osztható 3-mal is és 8-cal is, akkor igaz a sejtés.