Az alábbi lináris algebrai állításra ismertek egyszerű, de még inkább elegáns bizonyítást?

Tegyük fel, Ax=b lineáris egyenletrendszernek van megoldása. Ha Ax=b lineáris egyenletrendszerből következik ax=\beta, akkor előáll az egyenletrendszer sorainak lineáris kombinációjaként, azaz van olyan y, melyre yA=a, és yb=\beta.

Az állítás triviálisnak tűnik, az intuíciónkkal messzemenően egybevág, de csak egy, nem túl szép bizonyítást sikerült rá össszeeszkábálnom. Először bebizonyítom homogén egyenletrendszerre, azaz, ha A nulltere tartalmazza az a normálisú hipersíkot, akkor a benne van A sorterében. Ez igaz, mert A sortere és nulltere egymás ortogonális kiegészítői. Most tekintsük az általános esetet. Legyen z Ax=b egy megoldása. Ekkor Az=b, és az=\beta, így az eredeti rendszert átírva A(x-z)=0 egyenletrendszerből következik az a(x-z)=0 egyenlet. Ez homogén (x-z)-ben így a már belátott állítás szerint van olyan y, melyre yA=a. Ekkor b=az=yAz=yb, amivel az állításunkat igazoltuk. A segítséget előre is köszönöm.