Valaki adna bizonyítást, magyarázatot?

Szóval a feladat a következő volt:

"Van egy szultán. Van 100 darab cellája és 100 darab szolgája. A cellák zárja úgy működik, hogy benne van a kulcs és ha egyet fordítunk rajta kinyílik, ha még egyet becsukódik, ha még egyet megint kinyílik stb.

A szultán egy napon elküldi az első szolgáját, hogy fordítson minden ajtó kulcsán egyet, a második szolgáját, hogy fordítson minden második (kettővel osztható) ajtó kulcsán egyet stb. Hány ajtó lesz nyitva a századik szolga után?"

A feladatot szakmai gyakorlaton kaptam (programozás). Ott meg is írtam egy programot ami elvégzi az összes műveletet (közben nyomon lehet követni a változásokat).

A válasz: 10. Ahogy figyeltem a megoldást az utolsó kör után, észrevettem, hogy a 10 ajtó (számok), a 101-nél kisebb négyzetszámok.

A kérdésem nem az, hogy oldjátok meg a feladatot, hanem, hogy magyarázzátok meg, miért a négyzetszámok? (Persze lehet, hogy ehhez matematikailag is meg kell oldani.)

Odáig eljutottam, hogy a maradékosztályokkal kellene valamit, de persze ez nem biztos.

Meg természetesen, hogy (a 101-nél kisebb számok közül) a négyzetszámoknak van csak páratlan számú pozitív egész osztójuk (egyet és önmagukat is beleszámítva)...ezért lesznek kijelezve. Ez eddig helyes, nem?