Küszöbszám/rendőrelv (Kalkulus I. )?

Úgy van, ahogy Tom Benko írta, az ε meg van adva, nem azt kell kiszámolni.

Odáig rendben van a dolog, amíg azt írtad, hogy:

2/3-ε < (2n+7)/(3n+5) < 2/3+ε bármely n>N-re

Innen viszont nem azt kell csinálni, amit írtál, hanem meg kell mutatni, hogy melyik az az N, ami fölött teljesül az egyenlőtlenség tetszőlegesen kicsi ε esetén.

Mondjuk így lehet folytatni:

A bal oldali egyenlőtlenségből:

−ε < (2n+7)/(3n+5) − 2/3

ε > 2/3 − (2n+7)/(3n+5)

ε > (2/3·(3n+5) − (2n+7))/(3n+5)

ε > (2n + 10/3 − 2n − 7)/(3n+5)

ε > (10/3 − 7)/(3n+5)

Mivel a jobb oldal negatív, ez minden n-re teljesül.

A fenti egyenlőtlenség jobb oldalából:

(2n+7)/(3n+5) − 2/3 < ε

(2n+7 − 2/3(3n+5))/(3n+5) < ε

(2n+7 − 2n − 10/3)/(3n+5) < ε

(7−10/3)/(3n+5) < ε

(7−10/3)/ε < 3n+5

(11/(3ε) − 5)/3 < n

Vagyis N=(11-15ε)/(9ε) választással a nála nagyobb n-ekre teljesül az egyenlőtlenség. Ha pl. ε=1/5, akkor N=4,444, tehát n>4 esetén igaz lesz. Ha pl. ε=1/15, akkor N=150/9, tehát n>16 esetén igaz. Ha meg pl. ε=1/150, akkor n>181 jön ki, stb. Bármely pici ε-hoz tudunk egy tőle függő N-et rendelni.

----

Persze nem kell mindig pontosan kiszámolni, hogy mely N-ektől kezdve igaz az egyenlőtlenség, szóval az se baj, ha jól felülbecsüljük. Akkor érdemes felülbecsülni, ha azzal egyszerűbben jön ki egy elfogadható N.