Elmagyarázná nekem valaki a konvergens sorozat (Kalkulus I. ) definícióját?
Én tudom, hogy mi az a konvergencia és tudom használni a feladatokban, de a definíció nekem teljesen kínai, márpedig meg kell tanulnom.
Ugyebár így néz ki (nem tudtam alsó indexet csinálni az n-eknek, de aki tudja, mi ez az tudja, hol van alsó indexben):
=========================================================
Az <xn> R-beli sorozatot konvergensnek nevezzük, ha létezik x ∈ R, hogy bármely ε > 0 esetén létezik n(ε) ∈ N, hogy bármely n≥n(ε)-ra (n ∈ N) d(x, xn ) < ε teljesül. Az x ∈ R számot <xn> sorozat határértékének nevezzük. Azt, hogy <xn> konvergens és határértéke x, így jelöljük:
lim x = xn
vagy
xn --> x.
=========================================================
Ez volt a definíció. Na most:
- Mi az az ε?
- Miért >0?
- Hogy lesz n-ből n(ε)?
- Egyáltalán mi ez az egész?
Azt a definíciót tudom elmagyarázni, amit mi tanultunk, de szerintem eléggé hasonló, szóval megérteni meg lehet ebből is. Először le is írom, hogy hogy néz ki:
Az (a_n) sorozat konvergens, ha ∃A∈ℝ: ∀ε>0: ∃n_0∈ℕ: ∀n≥n_0 (n∈ℕ): |a_n - A| < ε
A _ jelölés az alsó indexet jelöli.
A konvergencia fogalma szavakkal elmagyarázva: Létezik egy olyan pont, amit a sorozat ahogy halad a végtelen felé, végtelenül megközelít, de el soha nem éri.
Itt a definícióban ez a pont az A. A "végtelenül megközelít, de el nem ér" miatt kell az ε>0 kikötés (tehát nem ε≥0, mert ez az egyenlőséget is megengedné így a definíció végén szereplő |a_n - A| < ε értelmetlen lenne, mert az abszolútértékben szereplő kifejezés nem lehet kisebb 0-nál.
A lényeg, hogy egy sorozat, akkor konvergens, ha ki tudok választani a számegyenesen egy olyan pontot (A), amihez ki tudok választani egy olyan küszöbindexet (n_0), amelytől kezdve (∀n≥n_0) a sorozat bármely eleme és ezen A közötti távolság kisebb, mint ε.
Lehet, hogy nem voltam érthető, ha van kérdés, írj nyugodtan.
Köszönöm, ezzel már segítettél valamennyit. A baj az, hogy én tudom, hogy mi az a konvergens sorozat emberi nyelven megfogalmazva. De vizsgán tőlem pontosan ezt a defet fogják kérdezni és egyszerűen nem tudom bemagolni, nem marad meg a fejemben. Ahhoz hogy megtanuljam, kellene értenem minden elemét.
Sosem értettem, miért kell a matekos definíciókat emberi megfogalmazás mellet ősi román nyelven is megtanulni... Nem igaz hogy nem elég, ha tudom alkalmazni.
válasza:Kicsit tömörebben: A határérték az az elem, amihez tetszőleges kis távolságnál közelebb juthat a sorozat. Konvergens egy sorozat, ha van határértéke. Az \varepsilon egy tetszőlegesen kicsiny valós szám, azért nagyobb, mint nulla, hogy az előbb leírtakat precízen meg lehessen fogalmazni, az n(\varepsilon) egy, az \varepsilon-tól függő természetes szám, az egész pedig egy szép definíció.
Másképpen: Konvergens egy sorozat, ha az egymás után következő elemei egyre közelebb vannak egymáshoz. (\forall\varepsilon\in\mathbb{R}_+:(\exist m\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N}, n>m:d(s(n)-s(m)<\varepsilon), értsd: [link] m\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N}, n>m:d(s(n)-s(m)<\varepsilon)$)
Még másképpen: Konvergens egy sorozat, ha az értékkészletének van torlódási pontja. stb...
válasza: válasza:ε az egy távolság, és ezért >0.
n(ε) az az ε-tól függő (küszöb)index. A sorozat egy indexe.
d(x, xn ) < ε Ugyebár az elején említettem, hogy az ε is egy távolság, tehát itt két távolságot hasonlítunk össze.
Azt mondjuk, hogy "bármely ε > 0 esetén", tehát akármekkorára választhatjuk ezt az ε távolságot, akármennyire kicsi lehet az ε, találsz majd egy olyan n(ε) indexet, amelynél nagyobb indexel (n-el) ellátott tagok (xn-ek) távolsága az x-től (határétéktől) kisebb lesz ennél az ε-nál.
Akkor értem! :)
Köszönöm!!!
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!