Azt tanultuk iskolában, hogy a pontnak nincs kiterjedése, és pontok végtelen halmaza az egyenes, aminek van kiterjedése. Akkor hogy is van ez, hogy egy dolog, aminek nincs kiterjedése, létrehoz egy másikat, aminek van?

Ezek matematikai absztrakciók, nem érdemes velük fárasztanod magad, mert sokszor még matek szakosok számára is nehezen emészthetőek.

Itt nagyjából arról van szó, hogy bár a pontnak nincs kiterjedése, de halmazokba tudod rendezni. Körbe tudsz keríteni belőlük egy végtelen számú darabot, és azt tudod mondani, hogy ez most egy kör vagy egy négyzet.

Az egyenes is egy halmaz, ahol nem az történik, hogy végtelenül kicsi dolgok egymás mellé sorakoznak és ettől végtelenül hosszúak lesznek (mint mondjuk végtelenül sok ember a mozi pénztáránál), hanem azok a végtelenül kicsi dolgok már eleve ott vannak, méghozzá végtelen hosszan kiterjednek minden irányba, és te csak azt mondod, hogy akkor ezek egy részét elnevezed egyenesnek vagy körnek. Ez persze azt is jelenti, hogy az egyenes bármely két pontja közt végtelen számú többi pont van.

Igen, az utolsónak igaza van. De az irracionális számokat is ketté lehet bontani. Az egyik amiben a gyök2 is benne van, amelyek megszerkeszthetőek, de vannak transzcendens számok is (mint pl. ha jól tudom, a pí), melyeknél tényleg igaz ez a végtelenszer kicsinyítés.

Egyébként határérték számításnál értelmezzük a "0-val való osztást" (persze ez nem pontos megfogalmazás), így a végtelennel való szorzást is. Bármely szám, amelyet megszorzunk 0-val, 0-t kapunk, és bármely szám, amelyet megszorzunk végtelennel, végtelent kapunk. Mi történik tehát ha a 0-t megszorozzuk végtelennel? A két "hatás" úgy oltja ki egymást, hogy az eredmény egy véges szám lesz. És ennek a számnak a nagysága sztem a végtelennek a minőségétől is függ, mert nem minden végtelen egyenlő. Mert pl. az egész és valós számokból is végtelen sok van, mégis, valósból több van. Az egészeket egyébként megszámlálhatóan végtelen soknak, míg a valós számokat megszámlálhatatlanul végtelen soknak nevezzük.

Tehát visszatérve a pont-szakasz-egyenes leképezéshez: minden szaksz végtelen sok pontból áll, és minden egyenes (a félegyenesek is) végtelen sok szakaszból. Tehát ha úgy tetszik, a pontot ha megszorzod vmilyen típusú végtelennel, akkor vmilyen hosszúságú szakaszt kapsz, sőt, ha olyan típusú végtelennel szorzod meg, akkor egyenest is kaphatsz belőle (sztem pl. az végtelenszer végtelen pontból áll). Nemtom mennyire volt követhgető :), nekem így szemléletes talán a legjobban.

Az egyenes nem úgy keletkezik, hogy pontokat raksz egymás mellé (a pontoknak nincs kiterjedésük, nem lehet "egymás mellé tenni" őket úgy, mint mondjuk a krumpliszsákokat).

Az egyenest a legkönnyebben úgy lehet megérteni, hogy felírod az egyenletét. Az egyenes egyenlete meghatározza az egyenest. Az egyenes egyenlete igaz az egyenes összes pontjára. Az az állítás, hogy bizonyos pontok az egyenesen vannak, azt jelenti, hogy az egyenes egyenletét kielégítik ezeknek a pontoknak a koordinátái. Ebből megérthető, hogy végtelen sok pontra teljesül az egyenes egyenlete, amely állítás semmi olyasmit nem jelent, hogy az egyenest "pontok hozzák létre".

A végtelenszer nulla az nem csak egy véges szám lehet!

Attól függ, mennyire végtelen és mennyire nulla - az értéke lehet +végtelen, -végtelen vagy akár nulla is.

Például az 1/x függvény alatti terület az 1-től balra és jobbra is végtelen.