Összetett fv. Deriváltja?

Ha az egyszerűbb feladatok kijöttek, gondolom alapjaitól nem kell elkezdeni beszélni milyen egy összetett függvény, meg sokszor többet ér egy példa levezetése mint a sok elméleti magyarázat:)

Az elsőnél egyszerűbb ha kiemelsz 1/5öt, akkor 1/5*(1/sqrt(sqrt(x)+1)' marad. Ez a függvény egyszer 1/sqrt(v), valamint sqrt(x)+1 fügvények összetételéből következik, ahol v=sqrt(x)+1. A külső függvény deriváltja, mivel 1/sqrt(v)=-1/2*v^(-3/2), így -1/2*(sqrt(x)+1)^(-3/2). Ezt még meg kell szorozni a belső függvény, vagyis sqrt(x)+1 deriváltjával, ami 1/(2sqrt(x), és volt még 1/5-ös szorzó ugye amit kiemeltünk, tehát az elsőnél a végeredmény:

(1/5)*(-1/2*(sqrt(x)+1)^(-3/2))*(1/(2sqrt(x)).

Remélem átlátható és nem számoltam el.

A második az elég szép, inkább csak útmutatást adnék. Először is van az arctg függvény, ennek deriváltja 1/(1+u^2), u jelen esetben a gyökös kifejezés, szóval a gyökjel eltűnik és az alatta lévő kifejezés +1 lesz a nevezőben. Ezt követi a gyökös kifejezés deriváltja, és tudjuk h sqrt(v)'=1/(2*sqrtv), v az (1-x)/(1+x). Ezt követően már csak ezt az (1-x)/(1+x)függvényt kell deriválni, hányados szabály szerint:

((1-x)/(1+x))'= (-1*(1+x)-(1)(1-x))/(1+x)^2 lesz. Ezeket összeszorzod és kész.

Próbáljuk meg ezen:

f(x) = x^12, ennek a deriváltja: f'(x) = 12*x^11

Namármost írjuk le ezt a függvény összetett függvényként: f(x) = [x^4]^3

legyen: g(x) = x^4, akkor: f(x) = [g(x) ]^3

Ha ezt deriváljuk, akkor ezt ebben az esetben két lépcsőben csináljuk:

1. lépés: deriváljuk a “külső” függvényt, ami azt jelenti, hogy a belső részt békén hagyjuk és úgy deriválunk, mintha csak a külső részből állna a függvény:

d f(x)/d(gx) = d [g(x) ]^3/d(gx) = 3*[g(x) ]^2

2. lépés: deriváljuk a “belső” függvényt, ami azt jelenti, hogy most “utólag” még a “g(x)” részt is deriváljuk:

d g(x)/dx = x^4 = 4*x^3

3. lépés: összevonjuk az 1. és a 2. lépést:

d f(x)/dx = d f(x)/d(gx) * d g(x)/dx = 3*[g(x) ]^2 * 4*x^3 = 3*[x^4]^2 * 4*x^3 =

= 3*x^8 * 4*x^3 = 12*x^11

Az eredmény ugyanaz, mint mikor “egyből” deriváltunk.

Hasonló feladatokhoz én gyakran itt kérek segítséget:

[link]

A deriváláshoz lépésenkénti leírást is lehet kérni. (Show steps) gomb

Ez az én megoldásom.

[link]