Hogyan kell derékszögű hàromszöget szerkeszteni ha a beírható és a köréírható kör sugara van megadva?

Egy megoldás. Biztos van más is, de ez garantáltan működik. :-)

Mivel a feladat derékszögű háromszögre vonatkozik, a továbbiakban a háromszög derékszögűt jelöl, kivéve a megjegyzést.

Adott

R - a háromszög köré írható kör sugara

r - a beírható kör sugara

Feladat: a háromszög megszerkesztése

Tulajdonképpen a beírt kör középpontját kell meghatározni, ha az megvan, minden további elem megszerkeszthető.

Az elméleti háttér részletezése nélkül a szerkesztés lépései a következők:

1. Húzz egy vízszintes vonalat, jelölj ki rajta egy pontot, ez lesz a köré írható kör középpontja (O₁ pont)

2. Az O₁ ponttól jobbra-balra mérd fel a R szakaszt, így megvan a háromszög A és B csúcsa, vagyis a a háromszög átfogója.

3. Az O₁ pontban állíts merőlegest az átfogóra, és az O₁ pontból mérd rá a 'r' hosszát (P₁ pont)

4. A P₁ ponton át húzzál párhuzamost az átfogóval. (p egyenes)

5. Az átfogó B pontjából az O₁ pont felé mérd fel a 'r' hosszát (D pont)

6. Az O₁ középponttal az O₁D távolsággal (R - r) húzz egy körívet úgy, hogy metssze a p egyenest (P₂ pont)

7. A P₁P₂ távolság a beírt és körülírt körök középpontjának távolsága, ezzel az O₁ pontból elmetszve a p egyenest, megkapod a beírt kör középpontját (O₂ pont)

8. Az O₂ pontba szúrt körzővel rajzold meg a r sugarú kört.

A lényeg megvan, már csak az oldalak hiányoznak. Ehhez az A és B pontból érintőt kell húzni

8. Az O₂ ponton keresztül húzzál merőlegest az átfogóra, a metszéspont a Tc pont

9. Az A pontba szúrt körzővel az ATc távolsággal metszd el a kört (Tb pont), majd a B pontból az BTc távolsággal szintén (Tb pont), ezzel megvannak az érintési pontok

10. Az A pontból a Tb, a B pontból a Ta ponton keresztül húzott egyenesek metszéspontja adja a háromszög C csúcsát.

Ezzel kész a feladat.

Még két megjegyzés:

- Adott R és r értékekkel csak akkor szerkeszthető derékszögű háromszög, ha a

R/r ≥ √2 + 1

egyenlőtlenség teljesül

R/r < √2 + 1 estén is szerkeszthető háromszög, de az nem lesz derékszögű.

- A beírt és körülírt kör középpontjának távolsága

d = √[R(R - 2r)]

DeeDee

**********

Azért írtam csak annyit, mert dolgom akadt. Nem láttam a kommentedet, de természetesen szándékoztam leírni a megoldást, amit már láthatsz is.

A másik két megoldásról:

- Az elsővel lehet derékszögű háromszöget szerkeszteni, csak nem adott R és r esetén.

- A második nem szerkesztés, próbálgatás, és nem alkalmas a feladat megoldására.

A pudding próbája az evés.

Próbáld megoldani a feladatot az első két módszerrel, és meglátod mennyire használhatók.

Az enyémért garanciát vállalok.

DeeDee

*******

Időközben alkottam egy rajzot is, remélem, segít.

[link]

DeeDee

*********