Mi az a sajátfüggvény és mi az hogy lineáris kombináció?

A lineáris kombináció az alaptest elemeivel felszorzott vektorok összege.

Az operátorok sajátfüggvényei a lineáris leképezések sajátvektorainak felelnek meg.

[link]

[link]

Bővebben, vagy érthetőbben: normális tanárt megkérdezve, aki tanítaná az a tárgyat, amiből kell (matek, lengéstan, szilárdságtan, elektronika...).

Nem matematikai precizitással:

Egy lineáris operátor olyan függvény, amely egy vektortér mindegyik eleméhez egy vektortérbeli elemet rendel. Ha az így kapott elem az eredeti elem skalárszorosa, akkor az az elem az operátor sajáteleme, az a skalár, amivel szorozódik, pedig a sajátértéke.

Ha a vektortér ténylegesen vektorokból áll, akkor ezt az elemet sajátvektornak, ha függvények alkotják, akkor pedig sajátfüggvénynek nevezzük.

tehát v vektor (vagy függvény) M lineáris operátor sajátvektora (vagy sajátfüggvénye) λ sajátértékkel, ha igaz rájuk az alábbi egyenlet:

M(v)=λ*v

operátoroknál az M(v)-t egyszerűen M*v-ként szokás jelölni. Ha egy operátor hat a vektortér egy elemére, akkor azt a műveletet az operátorral való szorzásként definiáljuk.

Lineáris kombináció:

ha v1, v2, v3... a vektortér egy-egy elemei (vektorok, függvények), és λ1, λ2, λ3... skalárok, akkor a λ1 * v1 + λ2 * v2 + λ3 * v3+... kifejezést lineáris kombinációnak nevezzük.

Persze a matematikusok ezeket mind szépen akkurátusan meg tudják fogalmazni, és pl. a λ-k nem feltétlenül számok, meg a vektortér is sokmindenből lehet, de szerintem a megértést ne az irdatlanul elvonatkoztatott definíciókkal kezdd, hanem számokkal, meg belőlük álló vektorokkal.