A monty hall paradoxonban miért változik 67%-ra a nyerési esély?

A logika a következő:

- a játékvezető nem vakon nyit ki egy ajtót, hanem mindenképp egy rosszat nyit ki

- 67% eséllyel választottál elsőre rosszat, azaz 67% az esélye, hogy a másik megmaradt a jó

"Mert ugye a játékmester csak olyan ajtót nyithat ki, ami mögött nincs autó és ha első körben eltaláltuk volna, akkor el sem jutunk addig, hogy a játékmester ajtót nyisson ki..."

Itt valamit félre értesz. Választasz ajtót. A játékmester a másik kettőből kinyit egy rosszat. Majd újra választhatsz, hogy tartód az első tippedet vagy váltasz.

"A monty hall paradoxonban miért változik 67%-ra a nyerési esély?"

Nem változik. Ha nem nyit ki egy ajtót sem, 1/3 az esélye annak, hogy az általad választott ajtó mögött van az autó, és 2/3 az esélye annak, hogy valamelyik másik mögött. Akkor is így marad, ha kinyit egy ajtót (hiszen az ő ajtónyitása nem független attól, hol van az autó, illetve hogy te már melyik ajtót nyitottad ki). Ha úgy tetszik, abban az esetben, ha nem az általad választott ajtó mögött van az autó, megmutatja, hogy még melyik mögött nincs, lényegében segít neked.

"Nekem úgy tűnik logikusnak, hogy mindkét esetben 60%."

Úgy kicsit soknak tűnik a valószínűségek összege...

"Mert ugye a játékmester csak olyan ajtót nyithat ki, ami mögött nincs autó és ha első körben eltaláltuk volna, akkor el sem jutunk addig, hogy a játékmester ajtót nyisson ki, tehát itt már volt 33% esélyünk eleve."

Így van. És ezen mit sem változtat az, ha kinyit egy ajtót. Mivel azt semmiképp nem nyithatja ki, amit te már kiválasztottál, így ugyanúgy 1/3 marad az esélye annak, hogy emögött van az autó. Viszont ha valamelyik másik mögött van az autó, akkor a műsorvezető nem véletlenszerűen választ.

"Az összes variáció száma ekkor 27, de ebből 15 kiesik, mert nem nyithat ki olyan ajtót ami mögött autó van és azt sem, amit választottunk. Tehát marad 12, amiből 6 esetében nyerünk."

Annyi a hiba, hogy úgy számolsz, mintha a játékmester véletlenszerűen választana ajtót, pedig nem (legalábbis ha az autó nem az általad először választott ajtó mögött van).

Szerintem számoljunk kicsit egyszerűbben. Legyen a három ajtó A, B és C. eredetileg mindhárom mögött egyforma eséllyel lehet az autó. Tegyük fel, hogy te előre elhatározod, hogy az A-t választod. (Nyilván végig lehetne zongorázni ugyanígy, hogy mi van, ha a B-t vagy a C-t választod, de értelemszerűen ugyanez jönne ki.) Nézzük a három egyforma valószínűségű esetet:

1. Az autó az A ajtó mögött van. A játékmester a B vagy C ajtót nyitja ki (lényegtelen melyiket). Értelemszerűen akkor jársz jól, ha nem váltasz.

2. Az autó a B ajtó mögött van. A játékmester a C ajtót nyitja ki (mivel csak ezt nyithatja). Tehát akkor nyersz, ha az A helyett a B-t választod.

3. Az autó a C ajtó mögött van. A játékmester a C ajtót nyitja ki. Tehát akkor jársz jól, ha az A helyett a C-t választod.

Azaz az esetek 2/3-ában akkor jársz jól, ha váltasz.

"Tehát mindkét esetben 9:15 az esélyünk a nyereményre."

Ezt végképp nem értem, hogy jött ki.

"Én lemodelleztem exel táblában az összes lehetőséget és az jött ki, hogy nem növekszik az esély a váltással."

Akkor valami hiba van a modellben.

#3

Nem kell duplán számolni. Ha szabályos a játék, 1/3-1/3 eséllyel van eredetileg az autó mindegyik ajtó mögött. A játékmester választása nincs hatással arra, hogy melyik ajtó mögött van az autó. (Maximum a te tudásodat. Ha nem az általad választott ajtó mögött van az autó, akkor a játékmester választása alapján tudni fogod, a másik kettő közül melyik mögött van. De ha az általad választott ajtó mögött van az autó, akkor a játékmester választásából nem tudsz meg semmit, nem befolyásol semmit.)

Fogalmazzuk át a játékot:

Van 3 ajtó, 1 mögött a nyeremény.

Első lépésben választunk egy ajtót. Második lépésben a játékvezető ennyit mond: Most megtarthatja az eredetileg kiválasztott ajtót vagy megkaphatja a másik kettőt.

Itt látható: váltás nélkül pontosan akkor nyerünk, ha a jó ajtót választottuk, aminek az esélye 1/3.

Ezzel a kinyitósdival hülyítik meg az embert.

Gondolom, a kérdező nem elsősorban a Monty Hall-paradoxon magyarázatára kíváncsi, hanem arra, hogy hol a hiba a számolásában.

Sokszor használják azt a képletet, hogy

valószínűség = kedvező események száma/összes események száma.

De ez csak akkor ad jó eredményt, ha az események valószínűsége egyforma.

Nézzük mi a helyzet a kérdező szerinti számítás esetén: Az, hogy hova teszik az autót és mit választ elsőre a játékos összesen 9 egyforma valószínűségű kimenetelt ad.

Ezután, azokban az esetekben, ahol a játékmester szabadon választhat, ott kétszeres lesz a lehetséges kimenetelek száma. Pl. aab és aac. De ezeknek az eseteknek a valószínűsége a felére, 1/18-ra csökken.

Míg pl. az abc típusú eseteké marad 1/9.

Márpedig az ilyen eseménytérben nem ad jó eredményt a p=kedvező/összes képlet mechanikus alkalmazása.

Ha eredetileg a három ajtóból egyenletes valószínűséggel választottál, akkor 2/3 valószínűséggel rossz ajtót választottál, 1/3 valószínűséggel jót.

A játékvezető kinyit egy rossz ajtót. Ha rossz ajtót választottál, akkor a másik rossz ajtót, a harmadik ajtó a jó ajtó. Ha eredetileg rossz ajtót választottál, akkor a harmadik ajtóra váltva jó ajtót választasz, így lesz a váltás után 2/3 valószínűséggel jó az ajtó.

Ha szabadna egy kristálytiszta magyarázatot adnom arra, hogy miért létezhet a fenti paradoxon és mi a feloldása :-) :

A paradoxon oka, hogy két valószínűség keveredik az emberek fejében.

1. Milyen valószínűséggel helyezik el az autót egy-egy ablak mögött. Ez 1/3 és semmiféle utólagos ügyeskedés nem változtatja meg.

2. Milyen valószínűséggel tudjuk megtalálni az autót. Ez utóbbi változik, ha információt kapunk. Amikor a játékmester kinyit egy ajtót, akkor információt ad arról, hogy ha a két nem választott ajtó mögött van az autó (2/3 valószínűség), akkor melyik mögött van. Ezért nagyobb a megtalálás valószínűsége, ha változtatunk a választásunkon.

Még egy megközelítés:

az autó 67% valószínűséggel azon a 2 helyen van, amit nem választottál.

A játékvezető mutat egy helyet, ahol nincsen, TEHÁT továbbra is 67% valószínűséggel azon a helyen van, amit nem választottál, de ez most már csak 1 hely.