Hogyan definiálható az infimum és a supremum?

Hogy érted, hogy hogyan?

Infimum : legnagyobb alsó korlát

Supremum : legkisebb felső korlát

A korlát definícióját kell tudnod.

Például számhalmaz esetén:

Infimum: a legnagyobb olyan valós szám, aminél nincs kisebb eleme a halmaznak.

Supremum: a legkisebb olyan valós szám, aminél nincs nagyobb eleme a halmaznak.

Itt van egy finom dolog: nem egészen ugyanaz egy adott halmaz legkisebb/legnagyobb eleme, mint a halmaz infimuma/szuprémuma. Miért? Azért, mert előbbinek a halmaz elemének kell lennie, utóbbinak nem. Ha például vesszük a gyök(2)-nél szigorúan kisebb racionális számok halmazát, ennek szuprémuma gyök(2) lesz, ami nem racionális.

Egész pontosan a következőről van szó:

Legyen (B;ρ) POSET, és A⊆B. Ekkor az A halmaz infimuma az

inf A:= max{b∈B|∀a∈A((b,a)∈ρ)} elem.

Hasonlóan, a szuprémum a

sup A:= min{b∈B|∀a∈A((a,b)∈ρ)} elem,

ahol persze a min/max a ρ parciális rendezésre vonatkozik.