Mi a halmaz suprémuma?

A kifejezés szimmetrikus, ezért első körben nézzük meg, hogy n=m esetén mi lesz a suprémum. Azt látjuk, hogy 1/e^2 lesz.

Tegyük fel, hogy ez az eredetinek is a szuprémuma, ezért már csak azt kell bizonyítanunk, hogy

(1 - 1/m)^n * (1 - 1/n)^m < 1/e^2

tetszőleges (n;m) természetes számpárosra teljesül.

A WolframAlpha azt adta ki, hogy igaz, tehát az irány valószínűleg jó, de ezt az egyenlőtlenséget egyelőre nem tudom belátni.

Másik dolog, amire még tudok gondolni, hogy azt látjuk be, hogy n=m esetén az érték mindig nagyobb, mint amikor n>m úgy, hogy m értékét rögzítjük (például (5;5) esetén az érték nagyobb, mint (n;5) esetén, ahol n>5). A szimmetria miatt elég csak ezt megmutatni. És ha ezt sikerült, akkor tényleg elég csak az n=m-re vizsgálni a határértéket.