Ha akarnám, mondhatnám azt, hogy a végtelen hosszú egész számokból annyi van, amennyi a valós számokból?

Pontosan mit értesz "végtelen hosszú egész szám" alatt?

Ha azt, amit gondolok, akkor a válasz egyrészt igen, hogyha tudsz mutatni egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést a számok és a pozitív egész számok között, másrészt meg nem, mivel ezek a számok mind "egyenértékűek" egymással, amik pedig a végtelennel (illetve -végtelennel) egyeznek meg.

Jobban meggondolta viszont, az ilyen pozitív számok a [0,1;1] intervallum elemeinek feleltethetőek meg kölcsönösen egyértelműen, amik viszont megszámlálhatatlanul végtelen sokan vannak.

Valamiért úgy értelmeztem a kérdésed, hogy megszámlálhatóan végtelenként tekintesz rájuk, ezért írtam a pozitív egészes megfeleltetést.

Mondjuk nagy varázslat nincs abban, hogy a "végtelen" megszámlálhatatlanul végtelen módon interpretálható.

#3 "Gondolom egy határértékszámítási feladatra vezet az, amire a kérdezőnk kíváncsi"

Nem talált, ez a kérdés csupán Kartoffel barátunk skizofréniába süllyedésének egy viszonylag unalmas momentuma.

A végtelen nem szám, hanem jelleg. Ha határértékként tekintek rá, akkor a végtelen csak annyit jelent, hogy bármely határnál nagyobb. Ha halmaz számosságról van szó, akkor a halmaz elemeinek a számára igaz az, hogy bármely határnál nagyobb, de itt két halmaz egymásnak való megfeleltetése révén relációk képezhetők a különböző végtelen halmazok számossága között. De ezt is jól kell érteni. Pl. a természetes számok halmazának és az egész számok halmazának a számossága azonos, mert tudunk a két halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést végezni. Annak ellenére is, hogy az egyik valódi részhalmaza a másiknak, minden természetes szám egyben egész szám is, de vannak egész számok, amik nem természetes számok. A számosság itt sem teljesen azt jelenti, amit a véges számosságok esetén megszoktunk, a számosság csak és kizárólag pontosan azt jelenti, ami a definíciója.

A végtelen nem szám. A végtelen nem egész, nem racionális nem valós. A végtelen nem páros, nem páratlan. A végtelen nem összetett és nem prím. Meg még egy raklap olyan tulajdonsággal nem rendelkezik, amivel egy szám igen. Viszont bizonyos újraértelmezéssel a végtelennel lehet műveleteket végezni. Két végtelen összege végtelen. Végtelenből végest kivonva végtelent kapunk stb…

~ ~ ~

Most tegyük félre egyelőre a negatív számokat.

A természetes számok esetén minden számnak van egy rákövetkező száma. Az 0 után következik az 1, az 1 után a kettő. Ebből fakadóan vannak bizonyos összefüggések. Páros számot mindig páratlan követ, páratlan számot mindig páros szám követ. Ha elképzelek egy végtelen hosszú természetes számot, akkor ahogy azt a neve is mutatja a számjegyei sorának nincs vége. Így nincs utolsó számjegye sem. Ennek hiányában nem tudom megmondani, hogy páros-e az adott szám vagy páratlan, hacsak nem kötöm ki, hogy mondjuk az adott végtelen számjegyből álló szám csupa kettesekből áll.

Két végtelen hosszúságú egész szám között nem lehet megállapítani, hogy melyik a nagyobb.

És ami a legfontosabb, egy ilyen szám megkonstruálhatatlan. A Peano-aritmetikában ugye a rákövetkezés műveletével áll elő a nullából az egy, az egyből a kettő, a kettőből a három:

0 := 0

1 := s0

2 := s1 = ss0

3 := s2 = sss0

4 := s3 = ssss0

Ha a 0-ám véges alkalommal végezzük el a rákövetkezés műveletét, akkor egy véges számot kapunk, aminek nyilván tízes és mindenféle más számrendszerben is véges számjegye lesz.

Ha végtelenszer, akkor a jelölésben a rákövetkezés műveletét jelző „s”-ek *végtelen* sorának a *végén* kellene egy 0-t írni. De mivel az „s”-ek sora végtelen, így nincs vége, ami után 0-t lehetne írni. Vagy ha a nulla elé tesszük az s-eket, akkor meg végtelenszer kellene s-eket írni a 0 elé, aminek soha nem lenne vége, így soha nem végeznénk a szám megkonstruálásával.

Ebből is az következik, hogy ha még végtelen számú „s” is lenne, a végtelen nem páros és nem páratlan. Egy végtelen számú számjegyből álló számra így például nem értelmezhető a párosság tulajdonsága.

De ha kicsit absztraktabb módon gondolkodunk, és megengedjük azt, hogy egy természetes szám akár végtelen számjegyből álljon, akkor az a helyzet, hogy minden végtelen hosszúságú természetes szám ugyanazt a megszámlálhatóan végtelent jelenti. Hogy más számjegyekből állnak, az csak különböző jelölései ugyanannak.

Tehát ha a végtelen számjegyből álló egész számokat vesszük, akkor az a véges számú egészekhez képest csak két elemmel bővül – a pozitív és a negatív végtelennel –, csak annak a két elemnek végtelen számú leírási módja van. Így hát nem, nem mondhatjuk, hogy az így bővített egész számok halmazának azonos lenne a számossága a valós számok halmazának számosságával.

2*Sü, ezért írtam azt, hogy ezek a számok a végtelen különféle reprezentációi, tehát gyakorlatilag egyenlőek egymással.

Viszont ha a feladatot nem úgy értelmezzük, hogy *egész számokról* van szó, hanem olyan végtelen hosszú kódsorokról, amik 0-9-ig tartalmaznak számjegyeket (és első számjegyük nem lehet 0), akkor viszont jogos a kérdés, hogy ők végülis hányan vannak, és arra az a válasz, hogy megszámlálhatatlanul végtelennyien.

Ezt a következőképpen tudjuk megmutatni; minden ilyen elé tegyünk egy "0,"-t, ezáltal minden kód egyértelműen elhelyezhető a [0,1;1] intervallumba (mivel 0,999...=1, ezért a jobb oldalon is zárt intervallum van). Az is könnyen belátható, hogy ez fordítva is működik, vagyis minden intervallumba eső számhoz egyértelműen társítható a kódja, tehát kölcsönösen egyértelmű helyzetben állnak.

Általában ez a feltevés, hogy az emberek azt csinálnak, amit akarnak. Tehát ha akarnád, mondhatnád ezt, igen.

Igazad persze nem lenne, ahogy #5 is írja, egyetlen végtelen hosszú egész szám sincs, a valós számok meg annyian vannak mint az oroszok, de van legalább 1 belőlük, az 1.