Minden határérték ekvivalensen helyettesíthető infinitezimális dx egységekkel?
Vegyük mondjuk egyváltozós, valós függvényeknek a hátértékét a végtelenben: lim h->végtelen f(h). Az állítom, hogy ez ekvivalens (minden f függvényre egyenlő) azzal, hogy f(1/dx), ahol dx a Newton-Leibniz-féle infinitezimálisan kicsi egység, amit a deriváltaknál és integráloknál is használunk. De tényleg ekvivalens és megoldható lenne minden limeszes határértékek nélkül?
Onnan jött az ihlet, hogy a deriváltfüggvény konkrétan így van definiálva, de az is csak egy határérték (ill. -függvény).
válasza:#11-es, a határértékes kifejezést úgy értem, hogy szerepel benne a "lim" kifejezés, mármint az egyenletben. Azt szeretném kideríteni, hogy lehet-e "lim" nélkül, mondjuk csak dx-ekkel csinálni.
Tehát ahelyett, hogy "lim h->x f(h)" helyett annyi, hogy f(x+dx) vagy valami ilyesmi. Nagyon követhetetlen a kérdés? Írj tetszőleges példát, és megmutatom rajta.
válasza:Kicsit próbáltam utána olvasni. Ahogy nézem a dy/dx (avagy df(x)/dx) alakban felírt derivált valójában nem is valódi hányados (még ha úgy is viselkedik sokszor).
"In its modern interpretation, the expression dy/dx should not be read as the division of two quantities dx and dy (as Leibniz had envisioned it); rather, the whole expression should be seen as a single symbol that is shorthand for" lim(Δx->0)(Δx/Δy)
Úgyhogy azt hiszem, ennek a kérdésnek a megvitatása meghaladja az én tudásomat. Azért még a kérdező pár válaszára reagálok.
Szerintem az összes definícióban fordítva írtad fel a nevezőt, mint a megegyezés (így pont ellentétes előjelet kapsz a deriváltra, mint kéne).
#5
A 3. és 4. egyenletedet én nem tudom értelmezni.
#7
"f'(x) = lim h->végtelen (f(x)-f(x+1/h))*h
Ez ekvivalens a fenti két definícióval is, de mondd, ha szerinted nem."
Azt hiszem ekvivalens (bár teljesen biztosra nem merem mondani). De mire jó ez?
#8
"És az lenne az értelme, hogy nem "kellene" többé határérték, csak dx."
Már miért ne kéne? Továbbra is határértékkel definiáltad.
válasza:"Tehát ahelyett, hogy "lim h->x f(h)" helyett annyi, hogy f(x+dx) vagy valami ilyesmi. Nagyon követhetetlen a kérdés? Írj tetszőleges példát, és megmutatom rajta."
Teljesen érthetetlen, hogy mit szeretnél. Mi lenne ha most 1x kivételesen ezt felírnád egy darab papírra, hogy lássuk, hogy mi van mi alatt (ahogy a határértéknél szoktuk) beszkennelnéd és feltennéd valami képküldő oldalra?
@sadam87:
> Ahogy nézem a dy/dx (avagy df(x)/dx) alakban felírt derivált valójában nem is valódi hányados (még ha úgy is viselkedik sokszor).
Mondj egy példát, amikor szerinted nem viselkedik úgy. (Persze ne olyat, amikor d-vel akarnál egyszerűsíteni.)
> Szerintem az összes definícióban fordítva írtad fel a nevezőt, mint a megegyezés (így pont ellentétes előjelet kapsz a deriváltra, mint kéne).
Teljesen igazad van, köszönöm, hogy felhívtad rá a figyelmem, javítom magam! :)
> A 3. és 4. egyenletedet én nem tudom értelmezni.
Magyar wikit nem, de angol nyelvűt találtam: one-sided limit:
Gyönyörű példa, és ahogy még én is tanultam anno. A "h->a+" azt jelenti, hogy h tart az a értékhez pozitív oldalról/felülről, csak a fórumon nem tudom a plusz jelet a jobb felső indexbe írni. A "h->a-" hasonlóan.
> "f'(x) = lim h->végtelen (f(x)-f(x+1/h))*h
> Ez ekvivalens a fenti két definícióval is, de mondd, ha szerinted nem."
> Azt hiszem ekvivalens (bár teljesen biztosra nem merem mondani). De mire jó ez?
Természetesen itt is felcseréltem a kivonás két oldalát, de akkor ebben is egyetértünk. Ez azért jó, mert dy/dx-ben nincs közvetlenül "lim" kifejezés, mondjuk úgy közvetlen határérték.
> Továbbra is határértékkel definiáltad.
Ha a dx-et a határértékfogalmon keresztül definiáljuk, akkor persze, igen, semmi teteje ennek az egész okoskodásnak. De ha azt mondom, hogy az az egyenlet tartalmaz határértékszámítást, amiben szerepel a "lim" operátor, és amiben csak dy-ok, dx-ek vannak, azok meg nem, vagy legalábbis egy másik kategória, akkor érdekes lehet a dolog. (Persze ez matematikailag nem precíz.)
Szerintem a dx egy túl speciális dolog ahhoz, hogy a vele való munkát mezei határértékszámításnak csúfoljuk. És azt is mondom, hogy ez a dx helyettesíti ezt a bizonyos "sima" határértékszámítást - ha éppen ez lenne a cél.
válasza:#15
"Mondj egy példát, amikor szerinted nem viselkedik úgy."
Nem állítottam, hogy ismerek ilyen példát. Nézd meg, mit idéztem és mit írtam utána.
" (Persze ne olyat, amikor d-vel akarnál egyszerűsíteni.)"
Nem tudom miért ismételgeted ezt. A d-vel "egyszerűsíteni nyilvánvalóan teljesen értelmetlen.
"A "h->a+" azt jelenti, hogy h tart az a értékhez pozitív oldalról/felülről, csak a fórumon nem tudom a plusz jelet a jobb felső indexbe írni. A "h->a-" hasonlóan."
Köszönöm, de tudom jelent az egyoldali határérték. Azt nem értem, hogy mi értelme ezeket felírni.
"Ez azért jó, mert dy/dx-ben nincs közvetlenül "lim" kifejezés, mondjuk úgy közvetlen határérték."
Nem mintha eddig lett volna...
"Ha a dx-et a határértékfogalmon keresztül definiáljuk, akkor persze, igen, semmi teteje ennek az egész okoskodásnak."
És pontosan így definiáltad.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!