Mi van a számokon túl, és azok között?

Tetszőleges x és y szám között, ahol x<y, megtalálható az (x+y)/2 szám, tehát igaz, hogy bármely két szám között van egy harmadik. Sőt, az előbbi tört nevezőjébe a 2 helyett tetszőlegesen írható 1-nél nagyobb szám, akkor is x és y között maradunk, tehát tetszőleges két szám között végtelen sok, ráadásul megszámlálhatatlanul végtelen sok szám található.

Én elhiszem, hogy új matematikát akarsz építeni, de az alapokkal azért tisztában kellene lenni...

A kérdés bizonyos szempontból értelmetlen. Van a fizika, ami valós dolgok közötti összefüggéseket ír le, meg van a matematika, ami egy absztrakt világ. Az más kérdés, hogy általában szeretünk olyan matematikai rendszereket vizsgálni, amik alkalmazhatóak a valós, fizikai világ modelljében is, de pl. van sok olyan nemekulideszi geometria, aminek nem sok köze van a valósághoz. De mivel a matematika axiómákra épül, és ezek lehetnek bármik, így bármilyen matematikai rendszer felépíthető. Ha ellentmondásmentes, akkor az jó. Ha nem az, az problémás. Csakhogy Gödel óta tudjuk, hogy ha egy axiómarendszer ellentmondásmentes, akkor nem teljes, ha teljes, akkor nem ellentmondásmentes.

A számok absztrakt fogalmak. Hogy milyen a valóság, ahhoz az égadta világon semmi közük. Hogy nem lehet Planck-hossznál rövidebb távolságot elméleti szinten sem mérni, attól még matematikailag leírható egy ilyen távolság is.

~ ~ ~

Az is érdekes kérdés, hogy mennyire tekinthető a téridő kvantáltnak. Itt ugye a Planck-hossz és a Planck-idő jön be, aminél kisebb távolság és időtartam nem mérhető elméletileg sem és nem is értelmezhető. De ezek kvázi „pixelei” a térnek és az időnek? Matematika szempontból ez eléggé problémás. Jelölj ki a síkon négy olyan pontot, amire igaz, hogy három pont nem esik egy egyenesre és egy adott mértékegységben egész számú távolságra vannak egymástól. Megvan? Akkor most nézd meg mind a négy pontnak a másik háromtól való távolságát. Mindenképpen lesz benne legalább egy olyan távolság, ami nem egész. Térben ugyanez a helyzet, csak öt ponttal, amiből négy nem eshet azonos síkra.

Tehát bár bizonyos értelemben tekinthető a téridő kvantáltnak, de ez így ebben a formában komoly matematikai ellentmondáshoz vezet. Mondok egy szemléletes példát. Van egy sakktábla, négyzet alakú mezőkkel, tekintsünk egységnek két szomszédos mező távolságát. Az idő is legyen kvantált, a sakktáblán való mozgást egy-egy új ábra jelentse. Legyen itt is egy fénysebességhez hasonló hatásebesség, legyen ez 1 mező / 1 állás sebesség. Amíg egy soron vagy oszlopon belül kell mozogni, nincs gond.

Na de akkor most juss el az egyik sarokból a vele átellenes sarokba. Eleve az a probléma, hogy ez 8*√2 = 11,314 mező távolság, ami nem egész. De az egyes lépésekkel is gond van. Vagy egész a játékállás – idő – mérete, de akkor a figurád pont nem egy mezőn fog állni, hanem valahol félúton lesz két mező között, vagy éppen egy adott mezőn fog lenni, de akkor meg két játékállás között.

Az más kérdés, hogy lehet azt mondani, hogy nem tudjuk pontosan bemérni a sakkfigura helyzetét, nem tudjuk meghatározni, hogy most ő 7 vagy 8 mező távolságra a kezdőponttól pontosan mekkora távolságra is van. Vagy mondhatjuk azt is, hogy nem tudjuk pontosan megmondani, hogy az átellenes sarokban a 11. vagy a 12. lépésben jut el. Mert úgymond ha pixelei lennének ezek a térnek és időnek, akkor vagy egyet balra, egyet fel útvonalon tudna haladni a figura, és akkor az átlós irányú sebesség egészen máshogy alakulna, vagy egyszerűen kénytelen pixelek és/vagy játékállások közötti átmeneteket felvenni, ami nem fér bele ebbe a pixeles értelmezésbe.

A Planck-hossz annyiban kvantuma a térnek, hogy ennél kisebb távolság nem értelmezhető, nem mérhető, nem különböztethető meg, de ez nem jelenti feltétlenül azt, hogy 11,3 Planck-hossznyi távolság nem létezik, csak azt, hogy ezt a távolságot nem tudjuk a Planck-hossznál pontosabban meghatározni, megmérni még elméletileg sem.

Nem nagyon akartam belemenni, gondoltam átmegy magától is. Az biztos, hogy a távolság egy irracionális szám. (Az előző válaszomban rosszul számoltam, nem 8*√2, hanem 7*√2= 9,89 egység.) Még ha kvantált is a tér, akkor is a matematikai modellben ez a távolság absztrahálható. Ez nem tehető meg egész idő alatt.

Több „trükk” is elképzelhető:

1. Amit te írtál, egyet balra, egyet felfele. Nagyszerű, csak így 14 lépés – időegység – alatt tesz meg 9,89 egység távolságot. Ergo a mért határsebesség – a valóságban a fénysebesség, a sakktáblán a 1 mező/játékállás sebesség – másnak mérődik attól függően, hogy a rácshoz képes milyen irányú a mozgás. Egyszerűen mérésekkel meg lehetne határozni, hogy mik a rács tengelyei. És hiába növeled a felbontást, ez az arányszám megmarad, mindegy, hogy egy 8*8-as, vagy egy 8000*8000-es sakktáblában gondolkodunk, ettől még az átlós irányú sebesség 1/√2 -szeres lesz a rácsvonal irányú sebességhez képest.

2. Az is megoldás lehet, ha rögtön átlósan lép. Csak akkor ehhez meg 7 lépés kell, egy 9,89 egységnyi távolság megtételéhez. Itt megint az van, hogy az átlós irányú sebesség másnak mérődik, csak éppen itt nem kisebb, hanem nagyobb lesz, méghozzá √2-ször nagyobb.

3. Az is megoldás lehet, hogy valaki valahol számon tartja, hogy milyen irányba is halad a figuránk, és mikor szükség van rá, akkor kompenzál, mondjuk a harmadik lépést kihagyja, és csak a negyedik lépésben lép. Így elvileg megközelíthető átlós, vagy bármilyen irányban is ugyanaz a sebesség, mint a rácsvonal mentén, csak ez meg mindenféle interferencia képben megjelenő furcsaságokat, szintén mérhető, megtapasztalható jelenségeket okozna.

> a tér más milyen rács-szerkezetű... és elég sűrű, pókhálós

Akármelyik elképzelést is választom, a probléma a rácsháló sűrűségétől nem igazán függ. Lehetne elképzelni egy háromszögrácsos megoldást, ott hasonló matematikai problémák lépnének fel. Sőt lehet valami absztrakt, gráfszerű térrácsot is elképzelni – ami síkban arányosan nem is ábrázolható –, ahol akár tíz pont között is definiálhatóak olyan távolságok a másik kilenccel, hogy azok egészek, de én nem tudok elképzelni, és nem tudok olyan rendszerről, ahol ilyen jellegű ellentmondások ne merülnének fel.

~ ~ ~

> Mi van a számokon túl?

Erre meg isten tudja milyen választ vársz. A számok absztrakt fogalmak. Az más kérdés, hogy lehet őket vizualizálni, és ábrázolni mondjuk egy számegyenesen. De vannak olyan matematikai konstrukciók, amiknél ez is nehézkes, de mégis számszerűsíthetőek a dolgai. A mi van a számokon „túl” maximum úgy értelmezhető, hogy mi van a számokon „kívül”. Kvázi minden számszerűsíthető, ami valóságos. De még a matematikán belül is, a geometria is számszerűsíthető, erről szól a koordináta-geometria. A halmazelmélet is számszerűsíthető. (Vagy inkább fordítva, a számok tulajdonképpen halmazok.) A számokon kívül maximum műveletek vannak, de adott kontextusban még az is kifejezhető számokkal.

Nehéz olyan dolgot mondani, ami nem számszerűsíthető. Még a szépség, vagy a szeret is. Lehet, hogy egy adott egyénnél önmagában nem túl jól, de egy tömegnél már lehet mérni és viszonylag jó rálátást kapunk a kérdésre, hogy ki mennyire szépnek értékel valamit, vagy mennyire szeret valamit. Még teljesen homályosan definiált, nem anyagi, hanem fogalom természetű dolgok is számszerűsíthetőek pl. statisztikákkal.

> Ez nagyon fontos kijelentés, mert megengedi az elképzelést, hogy egy nagyon sűrű és zavaros gráfszerű térrácsot alkossunk meg.

A kvantáltság alapvető azt jelenti, hogy van egy adott tulajdonságnak egy legkisebb értéke. Ha most azt mondod, hogy a Planck-hossz csak egy átlag, akkor kell lennie egy legkisebb távolságnak, ami szerepel azon mennyiségek között, amiknek az átlaga a Planck-hossz. Ha ez a legkisebb távolság nem egy nullánál határozottan nagyobb érték, akkor folytonosságról beszélhetünk. Ha meg ez egy nullánál határozottan nagyobb érték, akkor is fogunk találni két olyan mennyiséget, aminek a különbsége kisebb lesz, mint ezen legkisebb távolság, mint ahogy egy négyzethálónál is kisebb egy √2 és egy egységhossz különbsége, mint a legkisebb távolság, és akkor ennek kell lennie jól mérhető, fizikai következménye.

~ ~ ~

> én vagyok a legendás UKristóf

Ez megmagyarázza a dolgot.

Úgy alapvetően az itt feltett sok-sok kérdésedből – meg némi privát levelezésből – nekem az jön le, hogy bár nagyon bő matematika tudással rendelkezel, de a matematika alapját, működését mégsem értetted meg igazán, vagy legalábbis folyamatosan hajlamos vagy megfeledkezni róla, ha mégis. Mert miről van szó? Egy matematikai rendszerben vannak axiómák. Ezek azok, ami bármilyen rendszer gerincét képezik, ebből – meg definiált műveletekből – építjük fel a rendszer különböző összefüggéseit, bizonyítunk, cáfolunk dolgokat. Bármilyen rendszerrel szemben támasztani szoktunk egy követelményt, azt, hogy ellentmondásmentes legyen.

Hogy mi a baj a kérdéseiddel, meg úgy az egésszel, ahhoz inkább írtam egy választ az 1=2 kérdésed alá: https://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__termeszettudomany..

Lehet olyan axiómarendszert csinálni, amiben nincsenek számok? Persze, hogy lehet. A logika ilyen, mondjuk a bool algebra ilyen. Vagy ilyen a geometria is. Csak minden ilyen rendszer véges vagy végtelen számú „objektumokat” kezel, és ezeket ha nagyon kell, meg lehet feleltetni számoknak. És mivel praktikus, általában meg is szoktuk feleltetni számoknak, egy kört meg lehet fogni koordinátákkal, egy igaz-hamis objektumokat meg lehet feleltetni 0 és 1 számoknak, sőt a két axiómarendszer bizonyos műveletei között is fel lehet fedezni analógiákat.

Ezzel a kérdéssel is az a baj, hogy kérdezel valamit, aminek a jelentését – nem a válaszokét, a saját kérdésed jelentését – te magad sem érted. Mi van a számokon „túl”? Mit jelent az, hogy „túl”? És ha azt mondom, hogy a számokon túl az Óperenciás tenger, meg az üveghegy van, az mitől értelmetlenebb válasz bárminél? Vagy pontosítsd a kérdést, vagy próbáld belátni azt, hogy te magad sem tudod, mit akarsz kérdezni.